Дискретно-непрерывная математика (стр. 121 )

Исходим из системы (4), полагая . Приводимые ниже соображения можно реализовать и исходя из (6). Если, например, предположить, что удовлетворяет условиям теоремы 3 из микромодуля 33, то к интервальной ма­трице и вектору можно применить метод Гаусса. Если — интервальный вектор, полученный в результате, то вектор а значит, и вектор

содержат решение системы нелинейных уравнений.

Напишем уравнение

по образцу (2). Представим матрицу входящую в это

уравнение, в виде

где — содержит диагональ матрицы Полагая

получаем из монотонности включения, что

Здесь мы использовали такое же представление матрицы в виде

как и выше, для Используя равенство

полагаем Если матрица снова удовлетворяет условиям теоремы 3 из микромодуля 33, то мы можем, исходя из вычислить тем же способом, что и раньше, новую локализациюдляи т. д. По­вторение этого шага приводит к следующему итерационному методу.

(14)

Шаг (d) этого алгоритма требует ~п2 операций (интерваль­ных умножений и делений) для неразреженной матрицы. Из того что шаг (b) требует операций, следует, что объем вычислений на шаге (d) несуществен при больших п.

Докажем несколько лемм, чтобы исследовать условия, при которых для метода (14) выполнено

и оценить R-порядок сходимости.

Лемма 3. Пусть — вещественная интервальная матрица, удовлетворяющая условиям теоремы 3 из микромодуля 33. Если представлена в виде где содержит диагональ матрицы , то матрица удовлетворяет неравенству

Доказательство Мы снова представим элементы матрицы через середину и полуширину в виде

Учтем теперь определение матрицы в теореме 3 из микромодуля 33 и равенство

Сразу видно, что вещественная матрицаявляется

полношаговой матрицей для полношагового метода, соответ­ствующего матрицеПо известной теореме получаем, что

Пусть теперь — вещественная интервальная матрица, — вещественный интервальный вектор и выполнено

(15)

Еслито из (15) следует соотношение

(16)

Пусть — вещественный интервальный вектор, удовлетворяющий условиям

(17) (18)

Лемма 4. Пусть для выполнены неравенства

(15)—(18). Если для интервальной матрицы и интервального вектораможно выполнить метод Гаусса, то результирующая верхняя треугольная матрица и соответствующий

векторудовлетворяют условиям (15)—(18) с подходящими константами

Доказательство. Применим математическую индукцию по ша­гам метода Гаусса (всего их п—1). Для каждого шага пока­жем, что если рассматриваемые условия выполнены для пары вектор — матрица на предыдущем шаге, то они выполнены и для пары, полученной на текущем шаге. Мы проведем доказатель­ство лишь для первого шага. На этом шаге по данной матрице и вектору вычисляются новая матрица и новый вектор по формулам

Тогда для получаем с помощью (15)—(18)

и (12 п. 7.2), что

Аналогичным образом получаем для что

а также

Для остальных элементов неравенства (15)—(18)

выполнены тривиальным образом.

Лемма 5. Пусть — верхняя треугольная матрица, такая что причем она и вектор удовлетворяют условиям (15)—(18). Тогда интервальный вектор вычисленный по формулам

удовлетворяет неравенству

Доказательство. Из (12 п. 7.2) следует, что

и что

Если теперь верно, что

то мы получаем

Отсюда следует, что

Теперь нужное утверждение получается из теоремы об экви­валентности норм.

Соединяя леммы 4 и 5, имеем следующее утверждение.

Лемма 6. Пуаь неравенства (15)—(18) выполнены для