Дискретно-непрерывная математика (стр. 122 )

Если для и можно выполнить метод Гаусса, то результирующий интервальный вектор у удовлетво­ряет неравенству

После этих подготовительных лемм мы докажем следующее утверждение о методе (14).

Теорема 7. Пусть —интервальный вектор и - корень

функции Пусть интервальное вычислениепроиз-

водной Фреше удовлетворяет условиям теоремы 3 из микромодуля 33 для всех Пусть, кроме того, неравенство (5' п.7.3) покомпонентно выполнено для Тогда последовательность вычисленная согласно (14), удовлетворяет следующим усло­виям.

Каждое приближение содержит корень ур. (18)

Итерационный метод (14) может быть выполнен для (19)

лю­бого k ≥ 0, и имеет место

Имеет место неравенство (20)

т. е. R-порядок сходимости метода (14) удовлетворяет не­равенству

(см. приложение А, теорема 2).

Доказательство. Проверка соотношения (8) сделана для k= 1 при выводе формул (14). В общем случае доказательство можно провести методом математической индукции. (19): Теорема 3 из микромодуля 33 гарантирует возможность выполнения ме­тода Гаусса. В условиях нашей теоремы диагональ матрицы не может содержать нулей, так что п. (d) в (14) всегда может быть выполнен. Интервальные векторы, вычисленные со­гласно (14), удовлетворяют соотношениям

В силу следствия 8 из микромодуля 29 эта последовательность сходится к не­которому предельному значению Отсюда следует, что

Так какнепрерывно зависит от отсюда следует, чтоа также

Из этих равенств следует, что

т. е.

(21)

В частности, тогда имеет место

Откуда

Отсюда следует, что

Применяя (19 п. 7.2) к (21) покомпонентно, получаем, что

В силу леммы 3 имеемзначит,

Ввиду

отсюда следует с помощью (27 из микромодуля 29), что а это и требовалось показать.

(20): Покажем, что неравенства (15)—(18) с заменойна выполнены для

По условию теоремы каждый элемент матрицы удовлетворяет неравенству (5' п. 7.3), откуда следует в силу эквивалент­ности норм, что

т. е. (15). Из теоремы о среднем значении получаем для неко­торых

0 < θі < 1 соотношение

Ввиду и теоремы об эквивалентности норм

отсюда следует, что

т. е. верно (17). Из тривиально следует, что

верно (18). Теперь из леммы 6 следует, что

а п. (с), (d) из (14) дают тогда

Эти рассуждения можно повторить для любого k ≥ 0, заме­няя соответствующие константы на константы первого шага, так как Тем самым доказано неравенство

Теперь наша теорема получается из теоремы 2 приложе­ния А.

Опишем теперь класс задач, для которых выполнены усло­вия теоремы 7. Для этого рассмотрим краевую задачу

Применение к этой задаче обычного разностного метода при­водит к системе нелинейных уравнений, удовлетворяющих всем условиям теоремы 7. (Далее эта система будет выписана явно.) Мы выбираем п = 25 точек в интервале (0, 1) и приводим в табл. 1 результаты последовательных приближений к значению для задачи

Таблица 1

Интервальный вектор вычислен по методу из микромодуля 39. В вычислениях были учтены все ошибки округления.

Вернемся теперь к лемме 10 из микромодуля 30 и используем ее для доказательства некоторых теорем существования решений си­стем нелинейных уравнений.

Теорема 8. Пусть отображениенепре-

рывно дифференцируемо в и для некоторого существует вычисление производной в интервальной арифметике. Пусть также метод Гаусса примением к и его применение к и правой части для фиксированного дает в результате интервальный вектор Тогда из

следует, что имеет корень в а из следует, что не имеет корня в

Доказательство. Мы начнем с уравнения (2), записанного в матричном виде

Из того что для матрицы можно выполнить метод Гаусса, следует, что все точечные матрицы из в частности матрица являются невырожденными. Рассмотрим отображение

такое что

Из этой формулы следует, что

Поэтому из следует, что для

и из леммы 10 микромодуля 30 следует, что имеет корень в

Чтобы доказать вторую половину теоремы, мы предположим, что имеет корень в Тогда, полагая