Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

Столбцы ak в свою очередь представляют собой неупорядоченные множества элементов .

(1.3)

Столбцы будем считать равными, если они содержат одинаковые элементы. Положим по определению, что система (1.1) не содержит одинаковых столбцов. Систему типа (1.1) будем рассматривать как элемент новой алгебры — алгебры структурных чисел. Соглас­но определениям абстрактной алгебры, алгебру структурных чисел можно отнести к категории операторных алгебр, т. е. ее можно характеризовать упорядоченной тройкой

где Е — носитель алгебры (в нашем случае семейство множеств); Ω, — двухэлементное множество операторов ω1, ω2, определяющих сумму и произведение; е — результат, т. е. функция, которая выражению АωВ ставит в соответствие элемент СЕ, являющий­ся результатом действия.

Введем вспомогательное понятие, которое используем при определении структурного числа.

Рассмотрим последовательность элементов xi: необязательно различных:

(1.4)

Обозначим через r(xk) — число одинаковых элементов после­довательности (1.4).

Структурным числом называется система элементов вида (1.1) [с учетом (1.2) и (1.3)], удовлетворяющая следующим опре­делениям.

Определение 1.1. Два структурных числа считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда или

(1.5)

Определение 1.2. Суммой структурных чисел А и В называется структурное число

(1.6)

в этом случае можно написать С = А + В.

Выражение в формуле (1.6) означает симметричную

разность множеств А и В.

Определение 1.3. Произведением структурных чисел А и В называется структурное число

(1.7)

которое записывается в виде С = АВ.

В соответствии с определением суммы при сложении структур­ных чисел опускаются столбцы, одновременно присутствующие в обоих числах А и В, а в соответствии с определением произведе­ния при умножении структурных чисел А и В опускаются те столбцы ab, в которых какой-либо элемент повторяется, т. е. для которыха также опускается четное число идентичных столбцов.

Можно заметить, что равенство структурных чисел пред­ставляет собой отношение эквивалентности, т. е. является реф­лексивным, симметричным и транзитивным.

Далее будут приведены примеры действий со структурными числами, элементы которых X представляют собой нату­ральные числа (этот случай имеет большое значение для приме­нения алгебры структурных чисел), а также даны словесные фор­мулировки действий со структурными числами, которые менее точны, чем вышеприведенные, однако более понятны для читателей, не имеющих достаточной математической подготовки.

Пример 1.1. Равенство структурных чисел:

Два структурных числа равны, если содержат идентичные столбцы, независимо от порядка элементов в столбцах и порядка столбцов.

Пример 1.2. Сложение структурных чисел:

Суммой двух структурных чисел А и В называется структур­ное число, содержащее все столбцы чисел А и В, за исключением идентичных столбцов, и не содержащее других столбцов.

Пример 1.3. Умножение структурных чисел:

Произведением двух структурных чисел А и В называется структурное число, столбцы которого представляют собой суммы (согласно понятиям теории множеств) всех возможных комби­наций столбцов А и В, за исключением наибольшего четного числа идентичных столбцов и таких столбцов, в которых какой-либо элемент повторяется (произведение других столбцов не содержит).

Из определения суммы и произведения структурных чисел следует, что эти операции всегда можно выполнить на множестве этих чисел. Из тех же определений можно сделать вывод, что сложение и умножение структурных чисел коммутативны и ассо­циативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения.

Для трех произвольных структурных чисел имеют место следующие соотношения, подобные тем, которые справедливы для элементарной алгебры:

(1.8)

Следует различать структурное число содержащее один

столбец, который является пустым множеством , и структурное число не содержащее ни одного столбца.

Заметим, что число [ ] служит модулем суммирования и для произвольного структурного числа А выполняется равенство

поэтому число [ ] будем обозначать символом 0, записывая его в виде

(1.9)

Числов свою очередь есть модуль умножения, так как

(1.10)

поэтому число обозначим символом 1, записав

(1.11)

Для любого А имеет место соотношение

Рассмотрим структурное число вида

(1.12)

т. е. число, содержащее один пустой столбец.

Легко заметить, что для такого числа справедливо равенство

Для структурных чисел, не содержащих пустого столбца,

Если множество структурных чисел вида (1.12) обозначить как A , а множество всех остальных структурных чисел — как B, то можно написать

(1.13)

Следовательно, легко заметить, что для произвольного структур­ного числа

(1.13а)

Таким образом,

(1.13б)

Из соотношения (1.13) вытекает, что равенство

но требует в общем случае равенств А = 0 или B=0, т. е. мно­жество структурных чисел содержит делители нуля. Пару структурных чисел, для которой выполняется равенство АВ =0, назовем особой парой.

Пример 1.4. Особую пару представляют собой следующие

структурные числа А и В:

Естественно, число [ ] =0 в сочетании с любым структурным числом дает особую пару.

Обобщая изложенные свойства структурных чисел, можно сформулировать следующие теоремы.

Теорема 1.1. Множество структурных чисел, на котором определены операции сложения и умножения, образует комму­тативное кольцо. Это кольцо обычно содержит делители нуля. Из определения суммы и произведения следуют соотношения, справедливые для любого структурного числа:

(1.14)

где — одноэлементное структурное число.

Теорема 1.2. Структурное число А всегда можно представить и миде

(1.15)

где

Следует отметить, что выражение (1.15) в алгебре структурных

чисел играет роль, аналогичную выражению z = а + ib в теории функций комплексного переменного, с помощью которой можно записать любое комплексное число z = а, b.