Дискретно-непрерывная математика (стр. 133 )

ниченная открытая область плокости (s, t), a обозначает гра­ницу области . Предположим для простоты, что Если непрерывно дифференцируема и то при относительно слабых условиях на φ рассматриваемая краевая задача имеет единственное решение. Для нахождения численных приближений к этому решению мы можем, например, преобразовать краевую задачу в систему нелинейных уравнений с помощью разностного метода. Если выбран один и тот же шаг по s и по t, то замена частных производных подходящими разностными отношениями приводит к системе из п2 нелинейных уравнений

Здесь и — приближенное значение величины и (ih, jh). Для i = 0, п + 1 и j = 0, п + 1 значения опре­деляются функцией φ(s, t).

Наши п2 уравнений можно записать в виде

(5)

где Хорошо известно, что — блочно тре-

угольная матрица и В предположении fu(s, t, и)≥0

нетрудно показать, что условия теоремы 1 выполнены не­зависимо от ширины данной локализацииединствен­ного решения системы (5).

В качестве конкретного примера мы рассмотрим уравнение

при п = 5. Легко убедиться, что векторы

такие, что удовлетворяют нера-

венству

для функциииз (5). Так как является M-функцией, от­сюда следует, что интервальный вектор для содержит решение системы (5).

Приведем теперь результаты вычисления приближений к значению с помощью такой же модификации короткошагового метода ньютоновского типа со взятием покомпонент­ных пересечений, как модификация полношагового метода, рас­смотренная в теореме 2.

Выбираеми приводим результаты в табл. 1.

Итерация прекращалась, как только половинная ширина всех локализующих интервалов становилась меньше, чем 10-10. С дру­гой стороны, методу (3) потребовался 81 шаг для достижения той же точности.

Простые соображения показывают, что в этом примере коли­чество арифметических операций на один шаг итерации при­мерно одно и то же. Однако в методе (3) потребовалось 81 раз производить вычисление функции и интервальное вычисление производной по сравнению с 13 вычислениями для модифициро­ванного метода. Это отразилось и на времени вычисления для на­шего примера; для метода (3) оно оказалось в 6—7 раз больше.

Замечания. Если на каждом шаге производить итерацию (1) полностью, то получится последовательность локализаций для которая, как можно показать, сходится к в условиях теоремы 1. При этом ширина сходится к нулю квадратично. Таким образом, для систем, удовлетворяющих условиям теоремы 1, этот метод дает большую экономию вычислений по сравнению с системами, для которых приходится использовать метод, исследованный в тео­реме 2 из микромодуля 37. Ведь там приходится на каждом шаге обращать точечную матрицу и производить итеративную локализацию матрицы, обратной к некоторой интервальной матрице.

Приложение А

ПОРЯДОК СХОДИМОСТИ

ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ в Vn(I(С)) и Мтп(С))

Пусть I — итерационный метод, порождающий последова­тельности членами которых являются комплексные интер­вальные векторы из Кроме того, предпо­ложим, что каждая такая последовательность сходится к пре­делу. принадлежащему Поскольку большинство реальных итерационных методов используется для локализации конкретных решений, мы будем предполагать, что

(1)

Имеются два способа, позволяющих измерить отклонение эле­ментаот предела

(2)

и

(3)

Обе величины представляют собой неотрицательные веществен­ные векторыудовлетворяющие соотношению

(4)

Кроме того,являются монотонными по включению

отображениями:

(5)

Справедливость (5) непосредственно вытекает из следующего свойства метрики q:

а также из свойства (9 п. 7.2), истинность которого на І(С) оче­видна. Таким образом, меньшая локализация означает и меньшую величину отклонения от

Часто проще бывает выразить отклонение от через неотрицательное вещественное число. Для этого можно исполь­зовать монотонную векторную нормуподставив в нее (соответственно

(соответственно

Снова имеем

а также свойство монотонности

Если то в интервальном пространстве введенные величины получают простую интерпретацию. В этом случае

представляет собой расстояние между включающими грани­цами а

— максимальное отклонение элемента из от

Теперь предположим, что последовательности {х(k)}, порож­денные итерационной процедурой I, сходятся к и удовлетво­ряют (1). Тогда соответствующие последовательности и сходятся к нулю. К ним можно применить хорошо известное по работе Ортеги и Рейнбольдта понятие по­рядка сходимости.