Дискретно-непрерывная математика (стр. 97 )

сходятся к х*.

Доказательство Из того, что следует

существование матрицыи соотношение

Тогда мы получаем для любого k и m≥ 1

Так как каждая компонента последовательности а значит, и сама эта последовательность удовлетворяют условию сходимости Коши. Так как простран­ство полно, а отображение является сжатием и потому непрерывно, мы получаем

Единственность неподвижной точки следует из соотношений

и

Эта теорема — частный случай более общего результата, до­казанного Шредером.

Вот еще одна теорема о неподвижной точке, которая будет использована в дальнейшем.

Теорема 5. Пусть

и

где и имеют описанный выше вид, причем

и

Тогда уравнение имеет единственную неподвижную

точку и для любого x(0) существует единствен-

ная последовательность удовлетворяющая уравнению

При этом

Доказательство. Матрицу можно рассматри-

вать как итерационную матрицу, соответствующую матрице

Из и того, что

следует Отсюда с помощью (23 микромодуль 29) и (10 микромодуль 29) получаем для произвольных что

т. е. что fР есть Pр-сжатие. В силу предыдущей теоремы уравне­ние имеет единственную неподвижную точку Из наших предположений следует, что отображе­ние для фиксированного является Qр-сжа-тием. Применяя предыдущую теорему, получаем, что имеет единственную неподвижную точкy x(k+1). Таким образом,

существование последовательностиустановлено для про-

извольного Из того, что

или

следует, что

так как

Это завершает доказательство теоремы.

Результат из теоремы 5 был сначала получен для отображе­ний из .

В связи с двумя последними теоремами продемон­стрируем соотношение между единственной неподвижной точ­кой и потенциальными решениями уравнения

Следствие 6. Пусть задано отображение

причем

Пусть выполнены условия одной из теорем 4, 5, и писть х* — единственная неподвижная точка уравнения сущетвование которой доказано там. Тогда

Доказательство. Рассмотрим уравнение

при фиксированном выборе элементов

и допустим, что ему удовлетворяет элемент . Мы можем тогда начать итерации в теореме 4 или 5 со значенияи в пределе получим неподвижную точку х*. Так же, как это было сделано в доказательстве п. (2) тео­ремы 1, мы можем использовать монотонность включения, что­бы показать, что всегда имеет место

Отсюда следует.

Теперь рассмотрим практическое нахождение констант Липшица для интервальных вычислений. Мы увидим, что кон­станты Липшица для интервальных вычислений будут мажори­ровать константы Липшица для соответствующих точечных функций. Это означает, что каждая из систем рассмотренных в следствии 6, удовлетворяет условиям теорем 4 и 5 при ограничении на множествоа потому имеет единственное решение .

С помощью найденных констант Липшица мы сможем про­верить выполнены ли в конкретных условиях предположения теоремы 4 или 5. Для простоты мы ограничимся пространством Аналогичные формулы для могут быть получены без труда. Для подготовки докажем одно свойство метрики q, которое следует из того, что она является метрикой Хаусдорфа.

Лемма 7. Пусть. Тогда

{для любого у Y существует z Z со свойством

и для любого z Z существует у Y со свойством

Доказательство. Если

. Докажем сначапа импликацию .

Пусть и зафиксирован у Y . Если zZ, то можно

взять z=у, что дает первую половину правой части . Если же то при z1> у мы получаем для z = z1, что

а в случае z2 < у получаем для z = z2, что

Так как в этом рассуждении у и z равноправны, оно дает и вторую половину правой части для фиксированного z Z,

Докажем обратную импликацию . Пусть сначала Зафиксируем у = y1. Тогда найдется z ≥ z1, такое что