Дискретно-непрерывная математика (стр. 115 )

Неравенство

верно для любой матричной нормы Из этого неравенства

следует

что и доказывает (8).

Из доказательства видно, что сходимость имеет место для произвольной матрицыне обязательно содержащей

В этом случае, однако, последовательные приближения не обязаны содержать Отметим, что критерий (7) зависел не от всей локализующей матрицы а только от ее срединной матрицы При этом ширина может быть произвольной. Это значит, что имея подходящую аппроксимацию матрицы удовлетворяющую неравенству с помощью определенных оценок понор­ме всегда можно построить интервальную матрицу такую что Тогда последовательные приближения, полученные согласно (5), сходятся кпо теореме 1.

Так как последовательные приближения из (5) всегда со­держат в силу (6), кажется естественным брать пересече­ние следующего приближения с предыдущим и продолжать ите­рационный процесс с этим новым потенциально улучшенным приближением. Это приводит к следующей итерационной про­цедуре:

(9)

Применяя эту итерационную про­цедуру, получаем моно­тонную последовательность локализаций для матрицы Следующий численный пример пока­зывает, что в этом случае критерий (7), вообще говоря, не до­статочен для сходимости.

Возьмем r = 2 и положим

откуда следует, что Мы получаем

oткуда

Поэтому процедура (5) с этим начальным приближением сходится к Используя (9), получаем

откуда следует, что Поэтому последовательность

приближений, вычисленная по формулам (9), не сходится к

в противоположность последовательности, вычисленной по фор­мулам (5). Условие сходимости для итерации (9) содержится в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть — невырожденная матрица размерности п × п, а — интервальная матрица размерности п × п, та­кая что Тогда

каждое приближение содержит (6')

если неравенство выполнено для (10)

всех то последовательность

сходится к

последовательностьможет быть следую - (8′)

щим образом ограничена в матричной норме

т. е. R-порядок итерационной процедуры (9) удовлетворяет неравенству (см. приложение А, теорема 2).

Доказательство. (6'): Как и в доказательстве утверждения (6), мы устанавливаем сначала, чтооткуда ввиду

немедленно следует

(10): В силу следствия 8 из микромодуля 29 последовательные приближения

всегда сходятся к некоторой интервальной матрице Теперь покажем, что в условиях нашей теоремы выполнено равен-ство Положив

получаемв силу (9). Используя (11 из микромодуля 29), получим имеем из (9) соотношение

откуда следует, что

Из условия следует существование

матрицы Эта обратная матрица

также неотрицательна. Отсюда следует, что т. е. Ввиду (6') мы имеем поэтому

(8'): Как и в доказательстве утверждения (8), мы показываем сначала, что для монотонной и мультипликативной матричной нормыимеет место неравенство

Отсюда с помощью (11 из микромодуля 29), монотонности нормыи вклю­чения следует неравенство

Так же как и в доказательстве утверждения (8), мы исполь­зуем теперь теорему об эквивалентности норм для доказатель­ства утверждения (8).

В отличие от критерия (7) условие сходимости (10) зависит от ширины матрицы локализующейЭту зависимость легко охарактеризовать формулами. Если, например, матрица удовлетворяет для монотонной мультипликативной нормы неравенствуто условие

(11)

достаточно для того, чтобы было верно для

всехРассмотрим теперь вкратце вопрос о нахождении подходящей интервальной матрицы. Допустим, что

можно представить в виде

При мы имеем

так что последовательность (5) сходится в силу критерия (7) для любой интервальной матрицы для которой Чтобы обеспечить соотношение рассмотрим равенство

или

Из него следует в силу мультипликативности матричной нормычто