Дискретно-непрерывная математика (стр. 108 )

т. е.

но он рассматривается аналогично.) Так как , мы

имеем

т. е.

а также

Так както можно показать методом математической индукции, что

т. е.

По предположению мы имеема по теореме 1

Поэтому найдется k0≥1, такое что имеет

место

или

т. е.

Метод математической индукции позволяет теперь устано­вить, что

так как Ввиду соотношений

получаем, что для любого не удовлетворяющего ни одному из условий (а), (b), хотя бы одно из этих условий выполнится после нескольких следующих шагов итерации. Наконец, получаем

Замечания.

Теоремы этого микромодуля без всяких изменений переносятся на соответствующие итерационные методы нахождения неподвиж­ной точки, т. е. решения нелинейного уравнения

где

есть -сжатие.

Самое существенное для доказательства этих теорем свойство — монотонность включения.

Микромодуль 34

О применимости метода Гаусса к системам уравнений с интервальными коэффициентами

Пусть — интервальная матрица, — интервальный век­тор. Будем предполагать, что обращение существует для всех Мы хотим найти множество

Это множество в общем случае не имеет простого описания. Поэтому мы ограничимся его локализацией с помощью интер­вального вектора. Очевидный способ нахождения такого интер­вального вектора — применение непосредственного обобщения метода Гаусса на системы с интервальными коэффициентами. Иными словами, пусть нам дана таблица коэффициентов

Применяя формулы

в предположении мы вычисляем новую таблицу коэффициентов

Покажем теперь, что имеет место

Допустим, что и рассмотрим систему линейных уравнений

Строим матрицу и вектор где

и

Из теории линейных уравнений хорошо известно, что си­стема уравнений имеет те же решения, что и Из монотонности включения следует и что и доказывает наше утверждение. Если описанный выше шаг проведен п—1 раз, то исходная таблица коэффициентов превращается в верхнюю треугольную матрицу

для которой имеет место

Используя формулы

получаем тогда интервальный вектор удовлетворяющий условию

В частности, если — невырожденная точечная матрица, то метод Гаусса применим, когда в правой части стоит произвольный интервальный вектор. При этом в процессе исклю­чения по Гауссу может потребоваться перестановка столбцов. Это эквивалентно умножению матрицы слева на матрицу перестановки перед началом процесса исключения.

Теперь определим отображение

для невырожденной матрицы и точечного вектора Это отображение представляет собой применение метода Гаусса к системе линейных уравнений

дающее результат

Отображение единственно, но, как обычно, для

имеются различные выражения. Например, мы имеем

Кроме того, метод Гаусса дает различные выра­жения для в зависимости от выбора главных элементов.

Следующие свойства не зависят от выбора главных элемен­тов. Интервальное выражение для обозначается через Поэтому интервальный вектор получаемый после выполнения описанного выше метода Гаусса, можно задать ра­венством

Имеем следующие свойства:

(1)

Отсюда следует, что

(2)

Отсюда следует, что

(3)

Отсюда следует, что

(4)

Поэтому для ширины имеет место

По поводу доказательства этих свойств заметим, что (1) сразу следует из монотонности включения, а (2) — из соотноше­ния и формул, определяющих метод Гаусса. Чтобы доказать (3), используем следующий факт.

Если имеются два рациональных выражения f1 и f2 для одной и той же функции причем f1 содержит переменную х ровно один раз, а f2 содержит эту переменную т раз, то для вычислений f1 и f2 в интервальной арифметике имеет место Аналогичное утверждение верно и для функций от нескольких переменных. Рассмотрим теперь i-e, компоненты векторов Для точечных векторов имеет место Из формул, определяющих метод Гаусса, видно, что компоненты вектора мо­гут входить несколько раз в выражение .Tак как они входят всего один раз в мы получаем (3).