Финансовая математика (стр. 10 )

(= 120-100 365 = 292 дня.
100 х 0.25 Д

Величина процентной ставки. Необходимость в расчете про­центной ставки возникает при определении финансовой эффе­ктивности операции и при сравнении контрактов по их доход­ности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не ука­заны. Решив выражения (2.1) и (2.12) относительно / или d, по­лучим искомые формулы для сроков, измеренных в годах и

днях:

i'-^T'-^jr11' (218)

d-1%r-AirK <2|9>

ПРИМЕР 2.13. В контракте предусматривается погашение обяза­тельства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Как видим, здесь не огово­рен уровень процентной ставки. Необходимо определить доход­ность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента и учетной ставки. По формулам (2.18) и (2.19) находим

' = ll°^on36Q = 0,666(6), или 66,67%, 90 х 120

d = Л!?"^360 = 0,5454, или 54,54%. 110 х 120

Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в виде про­цента скидки (общей учетной ставки) d' за весь срок ссуды. В этом случае

Р= 5(1 - d').

Имея в виду, что Р = S / (1 + /и), находим

37

d' i =

Годовая учетная ставка находится элементарно:

d=d' I n.

ПРИМЕР 2.14. Стороны договорились о том, что из суммы ссу­ды, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде годовой ставки про­стых процентов и учетной ставки {К = 360):

/ = oin °'12------------ = 0,23376, или 23,38%,

^-И -0,12) 360

d = o^lL» = 0,20571, или 20,57%. 210/360

§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов

Рассмотренные выше методы наращения процентов позво­ляют перейти к обсуждению более сложных и важных в прак­тическом отношении задач. Остановимся на одной из них. Речь пойдет о совмещении операций конверсии (обмена) валюты и наращения процентов.

При возможности обмена рублевых средств на СКВ и обрат­ной конверсии целесообразно сравнить доходы от непосредст­венного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и опосредованно через другую валюту. Сказанное относится и к получению дохода от СКВ при ее обмене на рубли, депони­ровании и обратной конверсии.

Возможны четыре варианта для наращения процентов с кон­версией денежных ресурсов и без нее:

без конверсии: СКВ -* СКВ;

с конверсией: СКВ — Руб — Руб — СКВ;

без конверсии: Руб -* Руб;

с конверсией: Руб — СКВ — СКВ — Руб.

Варианты с конверсией показаны на рис.2.7.

38

Р(СКВ)...... /...... S(CKB) Р(руб.)....... /...... S(py6.)

I , t * , t

Р(руб.)------ *-► S(py6.) P(CKB)---- '-+> S(CKB)

а б

Рис. 2.7

В операции наращения с конверсией валют существует два источника дохода — изменение курса и наращение процентов, причем, если второй из них безусловный (так как ставка про­цента фиксирована), то этого нельзя сказать о первом источни­ке. Более того, двойное конвертирование валюты (в начале и конце операции) может быть при неблагоприятных условиях убыточным. Решим в связи с этим две задачи. Определим сум­му в конце операции и ее доходность для двух вариантов опе­рации с конверсией.

Вариант СКВ -* Руб -* Руб -* СКВ. Проанализируем сначала вариант я, показанный на рис. 2.7. Примем обозначения:

Pv — сумма депозита в СКВ,

Рг — сумма депозита в рублях,

Sv — наращенная сумма в СКВ,

Sr — наращенная сумма в рублях,

А^ — курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях),

К{ — курс обмена в конце операции,

п — срок депозита,

/ — ставка наращения для рублевых сумм,

j — ставка наращения для конкретного вида СКВ.

Операция предполагает три шага: обмен валюты на рубли, наращение процентов на эту сумму и, наконец, конвертирова­ние в исходную валюту. Конечная (наращенная) сумма в валю­те определяется как

Sv = />Л (1 + ni) -jL. (2.20)

Три сомножителя этой формулы соответствуют трем пере­численным выше шагам. Множитель наращения т с учетом двойного конвертирования здесь имеет вид

m = A(1+m)=J_^. (2.21)

39

Взаимодействие двух факторов роста исходной суммы в этой формуле представлено наиболее наглядно. С ростом ставки множитель наращения линейно увеличивается, в свою очередь, рост конечного курса обмена уменьшает его.

ПРИМЕР 2.15. Предполагается поместить 1000 долл. на рубле­вом депозите. Курс продажи на начало срока депозита 26,08 руб. за $1, курс покупки доллара в конце операции 26,45 руб. Про­центные ставки: / = 22%; у = 15% (360/360). Срок депозита — 3 месяца.

26,08 з 22

S„ = Ю00 х -^Г(1 + -£- х ^) = 1040,2 долл.

—■—(1 + — х -==-* = 26,45 v 12 100

В свою очередь прямое наращение исходной долларовой сум­мы по долларовой ставке процента дает

Sv = 1000(1 + 0,25 х 0,15) = 1037,5 долл.

Продолжим анализ и поставим перед собой вторую задачу — измерим доходность операции в целом. В качестве измерителя доходности за срок операции примем простую годовую ставку процента /э. Эта ставка характеризует рост суммы Pv до величи­ны 5V:

S -Р

э

/ = у у

Л/»

Подставим в эту формулу значение Sv, полученное из (2.20). После несложных преобразований имеем

'э =

-§41 + Л0 " 1 А1

, т — 1

/Л = —::—

Данное выражение позволяет сделать ряд заключений, кото­рые удобно получить, обратившись к графику (см. рис. 2.8). Введем величину, характеризующую отношение последнего и первого курсов валюты:

* = А

v

С увеличением к эффективность операции падает. При к = 1 параметр /э = /, при к > 1 параметр /э < / (точка а на оси к), на­конец, при самой благоприятной для владельца денег ситуации (к < 1) имеем /_ > /.

40

Вариант Руб -* СКВ -* СКВ -* Руб. В этом варианте (см. рис. 2.7, б) трем шагам операции соответствуют три сомножителя формулы

5Г= A(i + nj)Kx = Рг{\ + Лу)А

(2.22)

Как и в предыдущем варианте, множитель наращения ли­нейно зависит от ставки, но теперь ставки процента для СКВ. Очевидно, что зависимости этого множителя от конечного кур­са или его темпа роста также линейные.

ПРИМЕР 2.16. Допустим, необходимо поместить на валютном депозите сумму в рублях (1 млн). Остальные условия — из приме­ра 2.15. Наращенная сумма в рублях к концу срока составит:

26 45 S, = 1000 х (1 + 0,25 х 0,15)-^^- = 1052,2 тыс. руб.

20,Оо

Прямое инвестирование в рублевый депозит дает больше: Sr = 1000 х (1 + 0,25 х 0,22) = 1055 тыс. руб.

Перейдем теперь к анализу эффективности операции. До­ходность операции определяется как

откуда

S - Р 'э~ Ргп '

-(*<•

+ nj) - 1 \/п = (*(1 + nj) - \)/n. (2.23)

41

Зависимость показателя эффективности от к, как видим, ли­нейная. При к = 1 /э =j (см. рис. 2.9), при £ > 1 /э >у, нако­нец, при Л < 1 /э <у, в частности, если к = к' = \/(\ + лу), опе­рация не принесет никакого дохода: /э < 0.