Финансовая математика (стр. 37 )

Воспользуемся приведенной формулой и определим диспер­сию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бу­маг. Так, для двух бумаг имеем

D - 2°о и а"^2°° "°'71а°-

Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,58а0. Таким образом, с увеличением числа составляю­щих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой диспер­сии составляющих элементов. Однако прирост действенности диверсификации уменьшается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 8.2.

Как видим, наибольшее влияние увеличение масштабов ди­версификации оказывает на начальных стадиях, т. е. при малых значениях я. Например, в рамках рассмотренного примера пе­реход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратиче­ское отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.

173

Рис. 8.2

Полученные выше выводы в отношении тенденции измене­ния среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляю­щих одинаковы, очевидно, справедливы и для более общих слу­чаев. Однако, зависимость этих параметров от степени диверси­фикации проявляется здесь не столь четко.

Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к фор­мулам (8.2) и (8.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дис­персией. Для независимых доходов получим

D = a2D' + a2Dv, (8.5)

и для зависимых доходов

D= сРо2 + а2 о2 + 2а а г о о . (8.6)

** хх У У х У *У х У v"-v/

Причем ау = 1 — ах.

В этом случае среднее значение суммарного дохода опреде­ляется как

Л = axdx + (1 - ax)dy. (8.7)

Пусть dy > dx и оу > ох. Очевидно, что в силу этих условий рост доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфе­ля. Так, на основе (8.7) получим

Л = dy + (dy - dx)ay. (8.8)

Что касается дисперсии дохода портфеля, то, как это следу­ет из (8.6), положение не столь однозначно и зависит от знака

174

и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации: полная положительная корреляция доходов (г = = +1), полная отрицательная корреляция (г = -1), независи­мость доходов или нулевая корреляция (г = 0).

В первом случае увеличение дохода за счет включения в порт­фель бумаги вида У помимо X сопровождается ростом как дохо­да, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах ох < о < о (см. рис. 8.3, где точка X означает портфель, состоящий только из бумаг вида Л, а К— портфель из бумаг вида Y).

Для частного случая, когда ох = оу = а, получим по формуле (8.6) D = а2. Иначе говоря, при полной положительной корре­ляции "смешение" инвестиций не окажет никакого влияния на величину дисперсии.

При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более слож­ная. По мере движения от точки Л" к точке К эта величина сна­чала сокращается и доходит до нуля в точке В, затем растет (см. рис. 8.4). Следует обратить внимание на то, что при движении от Л" до В рост дохода сопровождается уменьшением риска (квадратического отклонения).

В последней из рассматриваемых ситуаций квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги К проходит точку ми­нимума, равного ат, далее оно растет до оу (см. рис. 8.5). (Проблема определения состава портфеля, при котором дости­гается минимум дисперсии, обсуждается в следующем парагра­фе.)

Совместим теперь все три графика на одном (см. рис. 8.6.) Как видим, все возможные варианты зависимости "доход— С КО" находятся в треугольнике XBY.

Рис. 8.3

Рис. 8.4

175

 

о
О от ох оу "О от ох оу

Рис. 8.5 Рис. 8.6

Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдает­ся только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.

ПРИМЕР 8.1. Портфель должен состоять из двух видов бумаг, параметры которых: dx = 2; ох = 0,8; d = 3; о = 1,1.

Доход от портфеля: А = 2ах + Зау. Таким образом, доход в за­висимости от величины долей находится в пределах 2 < А < 3.

Дисперсия суммы дохода составит:

D = а^0,82 + а*1,12 + a^r^O.8 x 1,1.

Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, рав­ными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (8.6) и (8.7): D = 0,651 + 0,37/-^ и А = 2,7. Таким образом, при полной поло­жительной корреляции D = 1,021, при полной отрицательной кор­реляции D = 0,281. В итоге с вероятностью 95% можно утвер­ждать, что суммарный доход находится в первом случае в преде­лах 2,7 ± 2 х ^|^t02^ « 2,7 ± 2,02; во втором — он определяется пре­делами 2,7 ± 2 х д/о,281 * 2,7 ± 1,06. При нулевой корреляции до­ходов искомые пределы составят 2,7 ± 2^/0,651 * 2,7 ± 1,64.

Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влия­ет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции1.

1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается цен­ная бумага, выпущенная государственным казначейством.

176

Для этого заменим в портфеле бумагу К с параметрами dy9 oy на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. До­ходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит:

0=0*0*.

X X

Дисперсия дохода портфеля теперь зависит от удельного ве­са безрисковой составляющей, так как

Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бума­гой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклоне­ние дохода портфеля определяется убывающей линейной функ­цией доли безрисковой бумаги. Если dx > dy (в противном слу­чае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от dx до d, a величина квадратического отклонения сокращается от ох до О (см. рис. 8.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличи­вает как риск, так и доход.

А, а dx

О 1 ау

Рис. 8.7

Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (8.10), которое полу­чено преобразованием (8.7):

Л = ^+К~4Х - (8Л0)

В свою очередь на основе (8.9) находим

177