Финансовая математика (стр. 74 )

А + Л~ п----- ~* 07-8)

X

Для рассрочки платежей в течение / лет получим

D+ М - Мх+п
*- N-N s- (>7-9)

1Ух nx+t

§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем

Проблема пенсионного обеспечения затронула в последнее десятилетие все развитые страны, что в значительной мере свя­зано с заметным старением населения. Не избежала этой проб­лемы и Россия. Свой вклад в ее решение вносят негосударст­венные пенсионные фонды (НПФ). Пенсионные фонды не но-

354

вость для России. До 1917 г. подобного рода учреждения функ­ционировали в стране под названием пенсионные и эмериталь­ные кассы.

С экономической точки зрения обеспечение пенсиями по старости на базе НПФ представляет собой своеобразный дол­госрочный инвестиционный процесс, на первом этапе кото­рого осуществляются вложения (взносы в фонд) и последова­тельное наращение средств за счет доходов от инвестиций свободных денежных средств, на втором -— получение отдачи от накоплений в виде периодических пенсий. Особенности данного процесса определяются принятыми правилами, рег­ламентирующими взносы и выплаты пенсий (пенсионные схемы).

В длительно действующих пенсионных фондах скаплива­ются громадные средства. Например, активы пенсионных фондов стран Европейского союза в 1993 г. составляли более 1,2 трлн долл.

По условиям финансирования пенсионные схемы, практикуе­мые в России, подразделяются на:

— нефондируемые (предусматривается выплата пенсий из те­
кущих поступлений); эти схемы не представляют большо­
го интереса в отношении применения количественного
финансового анализа;

-— фондируемые, или накопительные, (для обеспечения вы­плат пенсий создаются целевые фонды);

— частично фондируемые (целевые фонды создаются не для
всех участников; например, только для лиц, выходящих
на пенсию).

К фондируемым схемам относятся:

— сберегательные (отличительные особенности: не учитыва­ются вероятности дожития каждого участника фонда, пре­дусматривается наследование накоплений, отсутствует со­лидарность участников в обеспечении выплат, оговарива­ется конкретный срок выплат); данный метод обеспече­ния старости представляет собой покупку индивидуаль­ной финансовой ренты;

— страховые (солидарность участников, нет наследования накоплений, учитываются вероятности дожития застрахо­ванных);

355

— смешанные сберегательно-страховые схемы (предусматри­
вается последовательное использование двух схем, напри­
мер, на этапе накопления применяется сберегательная
схема, на этапе выплат пенсий — страховая).

Страховые схемы различаются по охвату участников фонда:

— индивидуальные схемы, в которых пенсии эквивалентны индивидуальным накоплениям для каждого участника,

— групповые схемы, в которых пенсии и накопления экви­валентны для всех участников фонда "в массе".

Сбалансированность взносов и выплат (иначе говоря, экви­валентность обязательств) — необходимое условие для нор­мального ведения дела и важный элемент гарантии выполнения обязательств НПФ по выплатам пенсий. В страховых схемах ба­ланс обеспечивается на основе применения страховых принци­пов, которые реализуются с помощью актуарных расчетов. В сберегательных схемах баланс достигается на основе теории верных финансовых рент.

При применении любой из пенсионных схем с фондирова­нием сталкиваются с необходимостью решения двух задач. Пер­вая выступает в двух "сопряженных" вариантах: определение размера пенсии по величине установленных взносов либо рас­чет величины взносов по заданным размерам пенсии.

Вторая задача заключается в расчете страховых резервов. В следующих параграфах главы обсуждаются обе задачи.

§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы

В российских НПФ получили распространение как страхо­вые, так и сберегательные пенсионные схемы. В методических целях анализ удобнее начать с последних. В таких схемах пла­тежи (взносы и пенсии) не увязываются с вероятностями их вы­плат, поэтому нет необходимости применять таблицы смертно­сти и коммутационные числа, где аргументом является возраст. Строго говоря, здесь, по-видимому, нет оснований и для при­менения терминов "премия" и "пенсия". Однако для единооб­разия сохраним эти термины и в сберегательных схемах обеспе­чения старости.

Для расчета премий, очевидно, следует применять формулы, определяющие современные стоимости рент, если премия вы-

356

плачивается единовременным взносом, или размеры членов ог­раниченных, постоянных рент, если премии выплачиваются в рассрочку. Соответствующие методы были подробно обсужде­ны в гл. 5, поэтому ограничимся примером, в котором пенсия выплачивается в виде годовой, ограниченной ренты пренуме-рандо. Рассмотрим методы расчета суммы единовременного взноса и размеров последовательных взносов в фонд в течение ряда лет. Для записи формул примем следующие обозначения:

R — годовая сумма пенсии, Е — размер единовременного взноса,

А — сумма, накопленная на индивидуальном счете участни­ка фонда на начало выплат пенсии, х — возраст застрахованного в момент заключения договора, L — возраст выхода на пенсию, w — возраст в момент окончания действия контракта, п — срок накопления, п = L - х, / — срок выплат пенсии, / = w - L.

Как показано на рис. 17.1, общий срок делится на два пери­ода. В первом — в возрасте от л: до L лет — взнос в сумме Е (здесь и далее речь идет о "чистых" взносах, аналогах нетто-премии в страховых схемах) увеличится до величины А. Эта сумма обеспечивает оговоренные выплаты до возраста w во вто­ром периоде.

Накопления

Е

х L w Возраст

Рис 17.1

ПРИМЕР 17.5. Определим размеры премий, необходимые для обеспечения выплат страховой пенсии. Пенсионные выплаты, от­ложенные на 20 лет, должны производиться в размере 10 тыс. руб. в год, пренумерандо. Срок выплат f = 15 лет.

357

Таким образом, выплаты представляют собой отложенную на 20 лет, ограниченную годовую финансовую ренту, член которой равен 10 тыс. руб. Очевидно, что единовременный взнос равен современной стоимости будущих выплат. Положим, что на взнос начисляются проценты по ставке / = 9%. Общая формула для рас­чета имеет вид

Е = А х vn = R х at; i x (1 + i)vnt

где v — дисконтный множитель по ставке /, ап; ,(1 + /) — коэффи­циент приведения постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.3),

4 = 10 000а15; 9 х 1,09 = 10 000 х 8,060688 х 1,09 = 87 861 руб.,

Е = 87 861 х 1,09-2° = 15 677 руб.

Динамика пенсионных накоплений схематично показана на рис. 17.2.

Накопления

15677

40 60 75 " Возраст

Рис. 17.2

Если страховой договор предусматривает рассрочку взносов (равными платежами) в течение m лет (п * л?), то необходимый размер ежегодного взноса пренумерандо легко получить на осно­ве следующего равенства:

Rti . = Avn.

п го; i ™ *

Как показано выше, Avn = 15 677,

*10; 9 = а10; 9 х <1 + '> = 6,41766 х 1,09 = 6,99525.

Окончательно имеем

15 677

*=^i^- = 2241'1py6-

358

Таким образом, имеется альтернатива — выплатить единовре­менно 15,7 тыс. руб. или ежегодно на протяжении 10 лет по 2,2 тыс. руб.