Финансовая математика (стр. 70 )

В качестве иллюстрации приведем фрагмент таблицы смерт­ности для мужчин, в которой начальный возраст — 18 лет1.

Таблица 16.1 Фрагмент таблицы смертности

лс	'/	Ь	*:
19 20	100 000 99 851 99 678	0,00149 0,00173 0,00196	149 173 195
30	96 991	0,00381	370
35	94 951	0,00487	462
40	92 327	0,00708	654
50	83 640	0,01409	1178
60	68 505	0,02871	1967
70	45 654	0,05691	2598
80	19 760	0,11672	2306

* Округлено до целых чисел.

Показанные в таблице величины 1Х и dx сами по себе не име­ют смысла. Они приобретают его лишь при сравнении в рамках таблицы смертности.

Показатели таблицы смертности связаны очевидными соот­ношениями2:

1 Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12). Показатели таб­
лицы получены на основе вероятностей qx из таблицы смертности населения
СССР за 1984—1985 гг. (журнал "Вестник статистики''. 1987, JSfe 3).

2 В таблицах, непосредственно применяемых в страховых расчетах, значе­
ния 1Х и dx для повышения точности расчетов, особенно в старших возрастах,
не округляют до целых чисел.

335

'х+1 'х "х> "х 'х х Чх\ Чх = 1 - Рх = 1 -

Таблица смертности, фрагмент которой приведен выше, яв­ляется минимальной по набору показателей. Она достаточна для простых видов личного страхования — страхования на до­житие и страхования жизни. На практике применяют и более полные таблицы. В частности, в групповом пенсионном и ме­дицинском страховании применяют таблицы выбытия (decre­ment tables), в которых помимо смертности учитываются и дру­гие причины сокращения числа участников страхования.

Страховые вероятности. На основе данных таблицы смертно­сти нетрудно получить систему вероятностей дожития, необхо­димую для расчета соответствующих страховых показателей. Рассмотрим наиболее важные из таких вероятностей.

Вероятность прожить от возраста х до х + п:

пРх = ^Т- 06.1)

Вероятность прожить еще один год после возраста х лет:

dx (c+i

'х 1Х '

Рх = , ~ Чх = ! - "Т =

ПРИМЕР 16.1. Вероятность мужчине в возрасте 30 лет прожить еще 10 лет составит1:

/до 92 327 «лРол = — - ***** = 0,95191. 1°Рз° /до 96 991 u'*01*'-

По данным таблицы смертности находят и вероятности смерти в определенных возрастах. Например, вероятность уме­реть в возрасте от jc до х + п:

1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности на­селения СССР 1984—1985 гг.

336

Wx-l-^x-^y^-f Ydj. (16.2)

ПРИМЕР 16.2. Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет уме­реть в течение 10 следующих лет определяется как

ю^зо = 1 " ю^зо = 1 " 0,95191 = 0,04809.

Вероятность умереть через т лет (на протяжении года т + 1) для лица в возрасте х лет составит:

ХТЩ JCt/Я Хт/П i\C *>\

niflx = тРх х Ях+т = ~Г~ * 1 = ~~Т~' ( '

х х+т х

В свою очередь вероятность для лица в возрасте х лет уме­реть в возрастном интервале от jc + /и до Jt + m + л лет опреде­лим следующим путем:

	m\rflx	х+т	х+т+п	- =	х+т *х	*х+т	х+т+п х+т
Из	последнего выражения	вытекает,	что
			т\гпх	тгх	х fflx+n	г*

(16.4)

Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению ве­роятности дожить до возраста х + т и вероятности умереть в следующие п лет.

ПРИМЕР 16.3. Найдем для мужчины в возрасте 30 лет вероят­ность умереть в течение двух лет после достижения им 33 лет. Находим

п ^Ч^ 95 821-94 951
31^30-—j— geg^ -0,00897.

В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще п лет для каждо-

337

го из них. Обозначим эти вероятности как прх\ пр. Определим их следующим образом:

_ х+п — у*п

пРх ~~ i ' пРу ~~ [ >
х у

где lx, I — числа доживших до соответствующих возрастов (бе­рутся из таблиц смертности для мужчин и женщин).

В свою очередь вероятности умереть для каждого из супру­гов составят:

rflx ~~ nPx9 rfly ~~ пРу

Рассчитаем еще две вероятности. Однако предварительно примем две рабочие гипотезы:

— оба супруга достигают возрастов хи^в один день;

— смерть одного супруга — страховое событие, независимое от смерти другого супруга.

Вероятность прожить супругам вместе еще п лет (вероят­ность "сохранения" супружеской пары) рассчитывается как произведение вероятностей двух независимых событий:

(у+я *у+п *х+я Х 'у+п /t, <-ч

пРху= ПРх*пРу = - у-*1= / х/ ' (1б-5)

х у х у

В актуарной практике фигурирующие в формуле произве­дения чисел доживших принято обозначать следующим обра­зом:

(к Х у ~~ *ху И (к+я х *у+п ~~ (яу+я*

Формулу (16.5) теперь можно записать:

ху+п

„Pv = "f• 06.6)

ху

Найдем теперь вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до jc + п лет, а супруга, напротив, доживет до у + п лет. Искомая вероятность (обозначим ее как прх\у) равна произведению вероятностей:

338

пРЛу - пЯх* пРу - О ~ пРХ)пРу - пРу - пРх х пРу -
У *У

ПРИМЕР 16.4. Пусть возраст супругов 50 и 45 лет. По таблицам смертности находим:

для мужчины /cq = 83640, /« = 77007,

для женщины 1^ = 96261, /^ = 94348.

Вероятность того, что оба супруга проживут следующие 5 лет, составит:

77007 94348

5Р50;45 = 5%) * 5*>45 = ~£^ * "эЙбГ = °*92070 Х °*98013 =

= 0,9024.

Вероятность того, что супруг не проживет 5 лет, а супруга про­живет (см.(16.7)):

505OI45 = И - 5Р50>5Р45 = О ~ 0.9207) х 0,98013 = 0,007772.

§16.3. Коммутационные функции

Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции (commutations functions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретиро­вать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомо­гательные средства.

Стандартные коммутационные функции делятся на две груп­пы. В основу первых положены числа доживающих до опреде­ленного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановим­ся на методике получения наиболее важных в практическом от­ношении функций. Основными в первой группе являются функции D и N'