Финансовая математика (стр. 20 )

Для нормальных экономических условий кривая доходности имеет форму кривой А: доходность (Y) здесь растет по мере уве­личения срока. Причем каждая следующая единица прироста срока дает все меньшее увеличение доходности. Такую кривую называют положительной, или нормальной, кривой доходности (pozitive, normal yield curve). Нормальная форма кривой (не сле­дует путать с кривой нормального распределения, используемой в статистике) наблюдается в условиях, когда инвесторы в своей массе учитывают такие факторы, как рост неопределенности финансовых результатов (риска) при увеличении срока.

Кривая доходности, близкая к горизонтальной прямой (ли­ния Б), указывает на то, что инвесторы не принимают во вни­мание или в малой степени учитывают риск, связанный со сро­ком.

Иногда встречаются "отрицательные" и "сгорбленные" кри­вые (humped yield curve) доходности. Первая из названных кри­вых соответствует уменьшению доходности финансового инст­румента по мере роста срока (высокая нестабильность рынка,

90

ожидание повышения процентных ставок), вторая — падению доходности после некоторого ее роста.

Существуют несколько конкурирующих или, скорее, допол­няющих теорий, объясняющих закономерности "поведения" кривых доходности. Остановимся на двух из них: теории лик­видности (liquidity preference theory) и теории ожиданий (expecta­tions theory). Согласно первой изменения доходности связыва­ются с увеличением риска ликвидности инструмента в относи­тельно короткие сроки. Вторая из упомянутых теорий утвер­ждает, что форма кривой может рассматриваться как обобщен­ная характеристика ожиданий инвесторов, вернее, их поведе­ния в текущий момент в связи с ожиданиями изменений про­центных ставок в будущем. Однако интерпретация формы кри­вой в этом плане неоднозначна, да и не может быть иной, по­скольку приходится принимать во внимание по крайней мере действие двух факторов: риск и ожидание изменений ставок. Например, положительная кривая может интерпретироваться как указание на то, что инвесторы ожидают рост ставок в буду­щем. Иногда эта же форма кривой считается симптомом отно­сительной стабильности денежно-кредитного рынка.

Кривые доходности получили широкое распространение как инструмент анализа, помогающий при решении ряда инвести­ционных проблем, в частности, при сравнении доходности не­скольких финансовых инструментов, корректировке портфеля активов и т. д.1

ПРИМЕР 4.21. Рассмотрим на условном примере один из про­стых способов применения кривой доходности применительно к расчету процентной ставки. Допустим, инвестор должен инвести­ровать некоторую сумму денег на 4 года. Причем в силу ряда при­чин у него есть только два варианта для этого: разместить эту сумму на депозитах сразу на весь срок или сначала на 3 года, а затем на 1 год. Пусть уровни ставок следуют нормальной кривой доходности: по трехлетним депозитам — 10%, по четырехлетним — 10,5% сложных годовых. Размер ставки для депозита на пос­ледний год в момент принятия решения, разумеется, неизвестен. Какой вариант размещения средств должен выбрать инвестор? Очевидно, что для того чтобы остановиться на втором варианте, он должен ожидать результат не хуже, чем при первом варианте. Задача, следовательно, сводится к определению того значения ставки для 4-го года, при котором оба варианта будут равноцен­ными в финансовом отношении.

1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.

91

Обозначим через /3 и /4 уровни процентных ставок для депози­тов на 3 и 4 года, а через /0 — неизвестную ставку для годового депозита. В силу финансовой эквивалентности результатов поме­щения средств множители наращения для обоих вариантов долж­ны быть равными друг другу. Отсюда

(1+/4)4 = (1 +'з>30 + '<>>• По данным примера находим ставку (1+/4)4 1.Ю54

>о = 7Гм7~1 "ТТ^"1 = 0,12°14, или 12«014%-

I Таким образом, для того чтобы инвестор остановился на вто-j ром варианте, он должен ожидать, что через 3 года ставка по од­ногодичным депозитам будет не менее 12,014 %, т.е. уровень ставок повысится. Соответственно, если он ожидает, что ставка не достигнет этого уровня, следует выбрать первый вариант.

Математическое приложение к главе

1. Приведем доказательство формулы (4.38).
По определению

S" = S-(S- P)g, откуда

S* = (1 - g)S +flf - P(l - g)(l + ni) + Pg = P[l + n(l - g)i].

2. Докажем формулу (4.41):

Gt = (St - S^)g - P[(l + If - 0 + 0M1* - Pd + ir1 x/x«,

2cr = p/g2(i + oM.

Суммируются /i - 1 членов геометрической прогрессии:

Окончательно имеем

(?-/»[(! +О*-1]*.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 3.

2.  , Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 2.

3.  , Александер ГДж., Бейли Дж. В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997. Гл. 5, 13.

4.  Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 5

ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто пред­полагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задол­женности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последователь­ность, или ряд платежей, называют потоком платежей, (В за­падной финансовой литературе в аналогичном смысле приме­няется термин cash flows stream — буквально, потоки налично­сти, хотя речь идет о потоке денег в любом виде.) Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока (cash flow)1. Введение понятия поток платежей в финансовый коли­чественный анализ, что произошло сравнительно недавно, за­метно расширило рамки и возможности последнего.

Классификация потоков. В практике встречаются разнообраз­ные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций. Поэтому в этой и следующей главах основное вни­мание уделяется формальным соотношениям, а не конкретным экономическим показателям, связанным с этими операциями.

Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусмат­ривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярны­ми. Члены потоков могут быть как положительными (поступле­ния), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого — положительные ве­личины, а временные интервалы между платежами одинаковы,

1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.

94

называют финансовой рентой, или просто рентой (rent). Напри­мер, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т. д. Иногда подобного рода по­ток платежей называют аннуитетом (annuity), что, строго гово­ря, применимо только к ежегодным выплатам.

Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, сущест­венно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений многих, необходимых для финансовых расчетов коэффициентов.

Рента описывается следующими параметрами: член ренты (rent) — размер отдельного платежа, период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последова­тельными платежами, срок ренты (term) — время от начала пер­вого периода ренты до конца последнего, процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях фи­нансовой операции. Однако, как будет показано далее, этот па­раметр крайне необходим для ее анализа. При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные ус­ловия и параметры. Например, число платежей в году, способ и частота начислений процентов, параметры, характеризующие закономерность изменения размеров члена ренты во времени.