Финансовая математика (стр. 32 )

Умножим это равенство на (1 + /) и вычтем из обеих частей выражения соответствующие части равенства (1), получим

iA = R + 0v + av2 + ... + от*"1 - [Л + (л - 1)]яул = = Л(1 - v") + а 2 v' - /шул + avn.

После чего имеем

1 — уЛ\ яд».,"" ляул

Л-Я1 " / 1+ *'

Напомним, что

1 ~ vn

**/'

В итоге

/ I й;' /

А= Л + т д.,----------- г-

2. Метод Ньютона—Рафсона

С помощью этого метода последовательным приближением определяется нелинейная функция f(x) = 0. Общий вид рекур­рентного соотношения:

л**)

Хк + \ Хк *"~ \ » О

где Л — номер итерации, хк — значение х после Л-й итерации, /Ч*Л) — значение производной функции/^/

147

Основная задача заключается в разработке функции f(x), удобной для дальнейших преобразований. Применим метод для вывода формулы (6.26).

В качестве заданной принимается величина Л. Исходная функция Л = Ranb. Таким образом,

1 - е~Ьп

/(6) = R------------- - Л = 0. (2)

о

Разделим это выражение на Л и умножим на 6:

/(6)= 1 -*-*«-^6 = 0. (3)

Отношение A/R определяется условиями задачи. Преобразу­ем полученную функцию и найдем ее производную:

Г(ь)шпе-**"я-±. (4)

Подставим в общую запись рекуррентного соотношения (1) полученные значения функции и ее производной. Можно на­писать искомую итерационную формулу (6.26):

пе'Ьхп - -R

Очевидно, что, чем ближе начальное значение ставки (<$0) к истинному, тем меньше потребуется итераций.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997. Гл. 3.

2.  Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. §5.5.

3.  , Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 4.

4.  Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

§7.1. Общая постановка задачи. Линейная модель

В практике финансово-экономического анализа довольно часто возникает необходимость определить барьерное (порого­вое, критическое, предельно допустимое) значение некоторо­го параметра. Под барьерным значением параметра понимает­ся такая его величина, превышение которой приводит к поло­жительному или, наоборот, отрицательному конечному эконо­мическому результату в рамках некоторой производственной или финансовой системы. Например, если речь идет об опре­делении объема производства какого-то продукта, то порого­вым его значением является такой объем выпуска, при кото­ром полученная прибыль равна нулю. Превышение этого объ­ема дает прибыль, производство в меньшем объеме оказывает­ся убыточным. Подобная и многие другие, сходные по общей постановке, задачи решаются с помощью метода барьерной или критической точки (break-even point). Метод барьерной точки широко используется в финансовом проектировании, при раз­работке бизнес-планов и при решении разнообразных проб­лем: при определении порогового значения процентной став­ки, цены товара, срока выполнения финансовой операции и т. д.

Наиболее простая постановка задачи осуществляется с помо­щью линейной модели, которая и рассматривается в данном па­раграфе. Разумеется, такая постановка не является единственно возможной. Некоторые пути для дальнейшего развития метода предлагаются в следующих парафафах главы. Причем часть из рассмотренных здесь проблем, например барьерные точки для налоговых ставок и барьерные точки в условиях неопределен­ности, до сих пор не обсуждались в финансовой литературе.

149

Заметим, что до недавнего времени метод барьерной точки применялся, так сказать, в статике. Экономические показатели рассматривались в рамках одного, сравнительно короткого пе­риода. В последнее время этот метод распространяется и на по­токи платежей, охватывающих ряд последовательных времен­ных интервалов. В этих случаях с помощью дисконтирования стал учитываться важнейший фактор — время (а именно, сро­ки инвестирования и сроки отдачи от инвестиций).

Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно прибегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо най­ти пороговый объем производства одного вида продукта при ус­ловии, что все необходимые для анализа количественные зави­симости описываются линейными выражениями, иначе говоря, применяется линейная модель.

Для записи такой модели примем обозначения:

Q — объем производства (в натуральном или условно-нату­ральном измерении);

F — постоянные производственные затраты, затраты, не за­висящие от объема выпуска;

с — переменные, или пропорциональные затраты (в расчете на единицу продукции);

р — цена единицы продукции;

S — общая сумма затрат;

V — стоимость выпущенной продукции;

Р — размер прибыли до уплаты налогов.

Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одина­ковый интервал времени, обычно на один год.

Для начала найдем стоимость выпущенной продукции и со­ответствующую сумму затрат:

V=PQ, (7.1)

S=F+cQ. (7.2)

Искомый критический объем производства или барьерную точку получим на основе равенства стоимости выпущенной продукции и суммы затрат: V - S. Именно равенство двух раз­нородных экономических показателей, каждый из которых яв­ляется функцией одной управляющей переменной (в рассматри-

150

ваемом случае — объема производства), лежит в основе метода барьерной точки.

Обозначим барьерный объем производства как Qk, тогда, ис­пользуя (7.1) и (7.2), получим

PQk = cQk + F.

Таким образом,

Как видим, чем выше размер постоянных и переменных за­трат, тем больше критический объем производства.

Прибыль (до выплаты налогов) по определению составит

Р= V - S=(p-c)Q - F. (7.4)

Рис, 7Л 151

Графическая иллюстрация постановки задачи и ее решения приведена на рис. 7.1. Решение находится в точке пересечения двух линий, одна из которых характеризует динамику затрат (5), другая — изменение дохода (У) по мере увеличения выпуска. Объемы производства, которые меньше критического Qk, при­ведут к убыткам. Превышение этого объема дает прибыль. Чем выше размер постоянных и переменных затрат, тем больше критический объем производства. Чистая прибыль после упла­ты налогов (пропорциональных прибыли) характеризуется на рис. 7.1 линией Л/.

ПРИМЕР 7.1. Ожидается, что р = 50, с = 30, F = 100. Находим

100 °к = 50 - 30 = 5' Р = (5° " 30)° " 1°°-

Графическое изображение условий задачи и ее решение пред­ставлено на рис. 7.2

250

V S

100

0 5 I

Рис. 7.2

Рассмотренный метод базируется на реальных данных бух­галтерского учета или ожидаемых их величинах. Капиталовло­жения учитываются посредством включения в затраты аморти­зационных отчислений.

Заметим, что все участвующие в расчете параметры рассма­триваются как константы. Между тем, с течением времени они безусловно изменяются и найденная для одного момента вре­мени критическая точка не окажется таковой для другого мо­мента. Важно также подчеркнуть, что время, как важнейший финансовый фактор, не принимается здесь во внимание. Такой подход вполне оправдан, если капиталовложения уже осущест­влены и встает вопрос только о выборе видов производимой продукции и их объемов.

Сказаное выше позволяет сформулировать общее определе­ние для обсуждаемого метода, как способа расчета барьерного значения управляющей переменной исходя из равенства двух "кон­курирующих" функций этой переменной. Содержание управляю­щего параметра и функций, как видим, определяется конкрет­ными условиями решаемой задачи. В рассмотренном выше примере управляющей переменной является объем производст­ва, "конкурирующими" функциями — доход (выручка) и затра­ты.