Финансовая математика (стр. 56 )

a b

Рис. 12.2

265

i 5 10 15 20

N 220,8 105,0 28,8 -22,2

Нулевая величина чистого приведенного дохода в этом при­мере имеет место при условии / = У = 17,5 %.

Картина рассматриваемой зависимости резко изменяется, если члены потока платежей меняют знаки больше одного раза. Например, в силу того, что через определенное количество лет после начала отдачи предусматривается модернизация произ­водства, требующая значительных затрат. В этом случае кривая зависимости N от / будет заметно отличаться от кривой на рис. 12.2. Так, на рис. 12.3 показана ситуация, когда величина N три­жды меняет свой знак.

Влияние размеров затрат и доходов на N очевидно. Величи­на N находится в линейной зависимости от каждого из указан­ных показателей. Причем, чем отдаленнее срок поступления или затрат, тем меньше это влияние.

Теперь остановимся на сравнении (ранжировании) несколь­ких вариантов проекта по величине N. На первый взгляд пред­ставляется, что такое сравнение весьма условно, так как N за­висит от уровня ставки. Однако, итог ранжирования проектов обладает высокой устойчивостью (инвариантностью) по отно­шению к ставке приведения. Для пояснения обратимся к слу­чаю, когда сравниваются три проекта. Обозначим их как А, Б и В. Капиталовложения во всех случаях мгновенные, а потоки до­ходов представляют собой постоянные ренты постнумерандо с одинаковыми сроками, но разными размерами отдачи. Потоки платежей и расчетные значения N и J показаны в табл. 12.1. При расчете N применена ставка 12 %.

N

Рис. 12.3

266

Таблица 12.1

t	A	Б	В
0 1 2 10	-20 5 5 5	-25 7 7 7	-25 6 6 6
N J(%)	8,25 21,4	14,55 25,0	8,90 20,2

Наибольшие значения N и / у варианта 5. Кривые зависи­мости Not /для вариантов Л и Б показаны на рис. 12.4. Как ви­дим, для любых значений / положительные значения N вариан­та Б больше, чем у А. В свою очередь при сравнении вариантов А и В (см. рис. 12.5) обнаруживаем, что чистый приведенный доход по варианту В больше, чем у А при применении любой ставки, вплоть до 15,1 %. Если ставка приведения превышает этот уровень, то места проектов по уровню чистого приведен­ного дохода меняются.

Рис. 12.4 Рис. 12.5

Приведенный пример иллюстрирует тот факт, что выбор про­центной ставки иногда совсем не сказывается на ранжировании проектов. Точка пересечения кривых А и В определяет критиче­скую или барьерную ставку по терминологии седьмой главы.

§12.4. Внутренняя норма доходности

Не менее важным для финансового анализа производствен­ных инвестиций, как и чистый приведенный доход, является внутренняя норма доходности. Под этим критерием понимают такую расчетную ставку приведения, при которой капитализа-

267

ция получаемого дохода дает сумму, равную инвестициям, и, следовательно, капиталовложения только окупаются. Иначе го­воря, при начислении на сумму инвестиций процентов по став­ке, равной внутренней норме доходности (обозначим ее как У), обеспечивается получение распределенного во времени дохода, эквивалентного инвестициям. Чем выше эта норма, тем, разу­меется, больше эффективность инвестиций. Обсуждаемый па­раметр может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Последнее означает, что инвестиции не окупаются. Величина этой ставки полностью определяется "внутренними" условиями, характеризующими инвестиционный проект. Ника­кие предположения об использовании чистого дохода за преде­лами проекта не рассматриваются.

Пусть / — приемлемый для инвестора уровень ставки про­цента, — выше она была названа минимально привлекательной ставкой доходности или нормативом доходности. Очевидно, что разность ставок У - / характеризует эффективность инве­стиционной (предпринимательской) деятельности. С чисто фи­нансовых позиций инвестиции имеют смысл только тогда, ко­гда У > /. При У < / нет оснований для осуществления инвести­ций, так как доходность ниже принятого норматива, если же под i понимается стоимость заемных средств, то они просто убыточны.

Расчет внутренней нормы доходности часто применяют в ка­честве первого шага анализа инвестиций. Для дальнейшего ана­лиза отбираются только те проекты, которые обеспечивают не­который приемлемый для данной компании уровень доходно­сти. Последний зависит от многих объективных и субъективных обстоятельств и охватывает весьма большой диапазон возмож­ных значений даже для однородных видов предприятий.

Методы расчетов. В общем случае, когда инвестиции и дохо­ды задаются в виде потока платежей, искомая ставка У опреде­ляется на основе решения уравнения (12.7) относительно v ка­ким-либо методом1:

JV-0, (12.11)

1 Напомним, что инвестиции имеют в этом равенстве отрицательный знак, доходы — положительный. Положительное значение J имеем в случае, когда сумма дисконтированных доходов больше размера инвестиций. Если все члены потока имеют один знак, то, естественно, искомую ставку получить нельзя.

268

где v — дисконтный множитель по искомой ставке У; t — вре­мя от начала реализации проекта; Rt — член потока платежей (вложения и чистые доходы).

Затем, зная v, находим искомую ставку У. Расчет искомой ставки осуществляется различными методами, дающими раз­ные по точности ответы. Различаются они и по трудоемкости. В западной учебной литературе часто ограничиваются методом последовательного подбора значения ставки до выполнения ус­ловия N — 0. Действительно, при наличии опыта и сравнитель­но коротком потоке платежей такой подход довольно быстро дает удовлетворительные результаты. Более "серьезные" мето­ды определения У основываются на различных итерационных процедурах. К ним, в частности, относятся метод Ньютона— Рафсона и метод секущей или какие-либо численные процеду­ры.

В пакете Excel содержится программа ВНДОХ, которая поз­воляет определить внутреннюю норму доходности1 на основе потока платежей с одинаковыми интервалами между членами потока. Инвестиции показываются с отрицательным знаком, доходы — с положительным. Члены потока относят к концам периодов.

Порядок действий при использовании программы ВНДОХ

1. Разместить показатели потока платежей в одной строке или столбце таблицы Excel. Если платежей в периоде нет, то соответствующую ячейку таблицы не заполнять и пе­рейти к следующему периоду.

2.  Последовательно вызвать: fx, "финансовые функции", ВНДОХ.

3.  В строке Значения показать адрес массива данных в табли­це Excel.

4.  В строке Предположения указать ожидаемое (примерное) значение нормы доходности2. Если этот параметр не ука­зывается, то он по умолчанию принимается равным 0,1.

1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван
"скоростью оборота".

2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион­
ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь­
ное значение ставки.

269

После выполнения действий 1—3 в итоговой строке Значе­ние автоматически показывается расчетная величина внутрен­ней нормы доходности. После нажатия кнопки ОК эта величи­на показывается в выделенной ячейке таблицы Excel

Примечание. Пользователь может изменять размеры членов потока платежей, не выходя из таблицы Excel.

Чистый приведенный доход при условии, что дисконтирова­ние членов потока производится по ставке У, по определению равен нулю (см. рис. 12.2). На этом рисунке кривая пересекает ось / только один раз в точке У. Это типовой случай. Однако — об этом уже упоминалось выше — при специфическом распре­делении членов потока во времени последовательные члены по­тока платежей могут изменять свой знак несколько раз (напри­мер, если ожидаются в будущем крупные затраты на модерни­зацию процесса производства). В этих случаях кривая пересека­ет эту ось несколько раз (см. рис. 12.3). Соответственно, имеет­ся несколько значений искомой ставки (несколько корней мно­гочлена), удовлетворяющих условию (12.7). Заметим, что усло­вие смены знаков является необходимым, но недостаточным для получения нескольких корней.

N

Рис. 12.6

В редких, но теоретически возможных, случаях чистый при­веденный доход оказывается положительной величиной при любом значении ставки / (см. рис. 12.6). Величина У здесь про­сто отсутствует. Если имеется множественность значений У или значение отсутствует, то при сравнении нескольких инвестици­онных проектов следует воспользоваться другими измерителя­ми эффективности.

270

ПРИМЕР 12.4. Определим J для данных примера 12.1 (вариант А). Напишем уравнение, в котором для сокращения записи при­мем 1 + J = г.

Исходная функция, определяющая чистый приведенный доход:

Л/(г) = - ЮОГ1 - 150Г2 + 50Г3 + 150Г4 + 200Г5 + 200Г6 = 0.

Решение заключается в определении корня шестой степени. Применим в методических целях способ последовательного под­бора, который представим в табл. 12.2.