Финансовая математика (стр. 19 )

Инфляция является цепным процессом. Следовательно, ин­декс цен за несколько периодов равен произведению цепных ин­дексов цен:

84

'>-ч[,+-ш\ <4-42>

где А, — темп инфляции в периоде U

Пусть теперь речь пойдет о будущем. Если Л — постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один пе­риод, то за п таких периодов получим

Грубейшей ошибкой, которая, к сожалению, встречается в российской практике, является суммирование (!) темпов ин­фляции отдельных периодов дня получения обобщающего по­казателя инфляции за весь срок. Что, заметим, существенно за­нижает величину получаемого показателя.

ПРИМЕР 4.18. Постоянный темп инфляции на уровне 5% в ме­сяц приводит к росту цен за год в размере

Jp= 1,0512= 1,796.

Таким образом, действительный годовой темп инфляции ра­вен 79,6%, а не 60% как при суммировании.

Продолжим пример. Пусть приросты цен по месяцам состави­ли: 1,5; 1,2 и 0,5%. Индекс цен за три месяца согласно (4.42) ра­вен

Jp = 1,015 х 1,012 х 1,005 = 1,0323. Темп инфляции за три месяца 3,23%.

Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. Если наращение производится по простой ставке, то наращен­ная сумма с учетом покупательной способности равна

^ S „ 1 + л/ 1 + ni

р

с"Т.-р—Г"1—7V - <4-44)

1 +------

100

85

Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом ее ин­фляционного обесценения имеет место только тогда, когда

1 +«/ > /„.

ПРИМЕР 4.19. На сумму 1,5 млн руб. в течение трех месяцев на­числяются простые проценты по ставке 28% годовых, наращенная сумма, следовательно, равна 1,605 млн руб. Ежемесячная инфля­ция характеризуется темпами 2,5; 2,0 и 1,8%. Индекс цен равен 1,025 х 1,02 х 1,018 = 1,06432. С учетом обесценивания наращен­ная сумма составит

1,605

- = 1,508 млн руб.

1,06432

Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. На­ращенная сумма с учетом инфляционного обесценивания нахо­дится как

+ /

S (l + <f С« — -Р±-------- <-шр\

(4.45)

100

р

Величины, на которые умножаются Р в формулах (4.44) и (4.45), представляют собой множители наращения, учитываю­щие ожидаемый уровень инфляции. Посмотрим теперь, как со­вместно влияют сложная ставка / и темп инфляции Л на значе­ние этого множителя. Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции равен процентной ставке, то роста реальной суммы не произойдет — наращение будет поглощаться инфляцией, и следовательно, С = Р. Если же Л/100 > /, то наблюдается "эро­зия" капитала —. его реальная сумма будет меньше первона­чальной. Только в ситуации, когда h/ЮО < /, происходит реаль­ный рост, реальное накопление (см. рис. 4.5). Очевидно, что при начислении простых процентов ставка, компенсирующая влияние инфляции, соответствует величине

п

Ставку, превышающую критическое значение /' (при начис­лении сложных процентов /' = Л), называют положительной ставкой процента.

86

Рис. 4.5

Владельцы денег, разумеется, не могут смириться с их ин­фляционным обесценением и предпринимают различные по­пытки компенсации потерь. Наиболее распространенной явля­ется корректировка ставки процента, по которой производится наращение, т. е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии. Итоговую величину можно назвать брут-то-ставкой. (В западной финансовой литературе такую ставку иногда называют номинальной. Однако этот термин уже "за­нят" (см. номинальная и эффективная ставки в § 3.3.).

Определим брутто-ставку (обозначим ее как г) при условии полной компенсации инфляции. При наращении по сложной процентной ставке находим брутто-ставку из равенства

,+'-(|+/>(1+Т5г)-

Откуда

г= / +

h 100

+ г

100

(4.46)

На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще, а именно:

г= / +

100'

(4.47)

Формула (4.46) по сравнению с (4.47) содержит один допол­нительный член, которым при незначительных величинах / и Л можно пренебречь. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой. Например, даже при / = 5% и й = 1% "вклад" этого произведения в брут­то-ставку составит 0,005, или 0,5%. Брутто-ставка в этом случае

87

равна 15,5% (вместо 15% по формуле (4.47). Однако при годо­вой инфляции в 100% и той же исходной ставке наращения брутто-ставка увеличивается уже до 0,05 + 1 + 0,05 х 1 = 1,1, т. е. до 110%.

При наращении по простым процентам имеем

1 +лг=(1 + */)/,,

где У — индекс цен за учитываемый период.

Очевидно, что при больших темпах инфляции корректиров­ка ставки имеет смысл только для кратко - или в крайнем слу­чае среднесрочных операций.

Перейдем теперь к измерению реальной доходности финан­совой операции, т. е. доходности с учетом инфляции. Если г объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реаль­ный показатель доходности в виде годовой процентной ставки / можно определить при наращении сложных процентов на ос­нове (4.47):

1 + г

1+-*-100

Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле (4.47), то

Л

'"г"1оо-

Аналогичный по содержанию показатель, но при начисле­нии простых процентов, находим как

1 /1 + пг \

■ «пМ - <4-49)

Как видим, реальная доходность здесь зависит от срока опе­рации. Положительной простая ставка / может быть только при условии, что 1 + пг > J'

ПРИМЕР 4.20. Рассчитаем реальную годовую ставку для следу­ющих условий: годовой темп инфляции — 20%, брутто-ставка —

88

25% годовых, п = 0,5 года. Индекс цен за половину года: 1,2°'5= 1,0954.

Для простых процентов получим

1 /1 + 0,5 х 0,25 \

1 = ТТ--------- Г^Гл---------- Ч = 0,05404.

0,5 [ 1,0954 )

Изменим условия задачи. Пусть срок теперь равен 5 годам и речь идет о сложной ставке. Индекс цен за этот период 1,7. В этом случае

^«5VU-1«0f11196,

1 + 0,25 '- 1+0.11106 -1-0.1241.

Компенсации инфляции можно достичь и путем индексации исходной суммы задолженности. В этом случае

С= PxJpx(l + /)".

§4.6. Кривые доходности

Как уже говорилось выше, процентная ставка является изме­рителем доходности финансовой операции. Ее значение зави­сит от многих факторов. Для практика важно представить себе закономерность изменения величины доходности (или про­центных ставок, используемых в однородных по содержанию операциях), в зависимости от некоторых фундаментальных фа­кторов. Вероятно, наиболее важным из них является риск невоз­врата вложенных средств. Очевидно также, что подобного ро­да риск существенно зависит от срока ссуды. Так, при всех про­чих равных условиях ссуда на 5 лет более рискованна, чем, ска­жем, на 2 года. Компенсировать риск владельцу денег может повышение ожидаемой доходности, договорной процентной ставки. Таким образом, зависимость "доходность — риск" при­ближенно можно охарактеризовать с помощью зависимости "доходность — срок", получить которую для практических це­лей существенно проще. Такую зависимость, представленную в виде графика, называют кривой доходности (yield curve). На гра­фике по вертикали откладывают доходность (У), по горизонта­ли — срок (л) (см. рис. 4.6). Если график охватывает широкий

89

Рис. 4.6

диапазон сроков (как краткосрочные, так и долгосрочные опе­рации), что тоже практикуется, то для измерения срока приме­няют логарифмическую шкалу.

Кривые доходности обычно строятся раздельно для кратко-, средне - и долгосрочных операций и однородных кредитно-ссудных операций и финансовых инструментов. Наблюдаемые значения доходности обычно находятся около кривой или не­посредственно на ней. Конкретная кривая доходности отвечает реальной ситуации, сложившейся на денежно-кредитном рын­ке, и характерна для короткого временного периода. Изменение ситуации меняет форму кривой и ее положение на графике. В ряде западных периодических финансовых изданий регулярно приводятся такие кривые.