Финансовая математика (стр. 76 )

362

УУ60

p-RN _ N •

/v4, /v5I

Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимо­сти различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим

П *x:t]

„a* N,

p=Rf~ = RY^lT- (,7И)

ax:t] 1Ух 1УхН

ПРИМЕР 17.8. Определим размер премии для следующих усло­вий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пен­сия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим

р =	innnn 6° innnn 3082,2
10 000 х л. — 10 000 х ЛЛЛ__ Л ^ЛЛЛ^ , ^40 ~ ^45 30375,6 ~ 18086,4
	= 2508,1 руб.

Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

Чо 3082,2

Р = 10 000 х ——=77- = 10 000 х ~-

nao'nso 30375,6 - 10465,3

= 1548,0 руб.

Расчет размера пенсии по сумме взносов. Пусть на счет застра­хованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеет­ся, должны быть "очищены" от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е. Тогда из соотношений типа Е = Rax находим размеры пенсий R. Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R = Е/ах, для от­ложенной пенсии R = Е/пах и т. д.

363

Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение / лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно — дос­таточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R. Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим

R= Р

ax:t\

Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся по­следовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Р{ можно рассматривать как единовре­менную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Л,, и т. д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно напи­сать равенство

*| = Л

60

к

, Л2 - Р2

60

К

ух+\

... , Rk - Л*

60

М

*>x+k-l

Общая сумма пенсии

p-lpJ-^—

У-1 ^60

(17.15)

ПРИМЕР 17.9. Пусть на пенсионный счет участника (мужчины) по­ступают в течение 5 лет взносы пренумерандо. Первый взнос 150 руб. сделан в возрасте 40 лет, второй взнос — 200 руб. и т. д. Пенсия выплачивается с 60 лет, Л/60 = 3082,2. В последней графе табл. 17.2 показаны размеры пенсий, обеспеченные каждым оче­редным взносом и размер пенсии, обеспеченной всеми взносами.

Таблица 17.2

Расчет размера пенсии

X	°«fi	",	*y*Vi	р,
40	2939,5	150	440 925	143,05
41	2677,7	200	535 540	174,75
42	2437,7	400	975 080	316,36
43	2217.8	300	665 340	215,86
44	2016,6	800	1 613 280	523,42
Итого			4 230 165	1372,45

364

§17.6. Страховые резервы в личном страховании

Важнейшим фактором, обеспечивающим надежность в рабо­те страховых организаций, является определение размеров ре­зервов как для отдельных застрахованных, так и для их групп и в целом по всем полисам страховой организации.

Под резервом понимается современная стоимость "чистых" обязательств страховой организации. Сумму резерва можно оп­ределить двумя методами — прямым (или проспективным) и обратным (ретроспективным). Оба метода дают одинаковые ре­зультаты. При прямом методе резерв равен современной стоимо­сти выплат, которые обязан осуществить страховщик, за выче­том современной стоимости ожидаемых взносов страхователя.

В связи с термином "резерв" необходимо сделать отступле­ние от обсуждения основной проблемы главы. Дело в том, что этот термин, трактуемый как чистые обязательства страховщи­ка, является узко профессиональным. Он уже более века как за­креплен в отечественном и западном (reserve) страховании.

Главное, на что надо здесь обратить внимание, — это то, что резерв в указанном выше смысле означает обязательства, а не реальные накопления (активы). Резерв — важный аналитиче­ский показатель: для того, чтобы обязательства перед страхова­телями были выполнены, резерву должны соответствовать не­которые активы, равные или превышающие размеры резерва. Формирование таких активов является обязательной, нормаль­ной функцией страховщика и не связано с покрытием расходов в каких-либо чрезвычайных обстоятельствах

Вместе с тем, в экономической да и других областях деятель­ности, применяется иное понимание термина резерв — как не­которого запаса или фонда, денежного или вещественного, предназначенного для покрытия расходов или иных потребно­стей в непредвиденных ситуациях. Например, продовольствен­ный резерв, резерв мощности двигателя, резерв главного ко­мандования и т. д. Иначе говоря, такие резервы не являются обязательствами.

Как видим, существует кардинальное различие в понимании обсуждаемого термина. Смешение понятий, которое несомнен­но мешает практической работе, отразилось на текстах соответ­ствующих российских законов. Во всех законах о страховой де­ятельности резерв трактуется не в специальном страховом, а в широком понимании, как реальные накопления, активы. На-

365

пример, в одном из законов читаем: "Страховщик вправе инве­стировать или иным способом размещать страховые резервы...". Однако обязательства нельзя инвестировать.

Возникла в некотором роде тупиковая ситуация. Для того чтобы устранить указанное смешение понятий, назовем мате­матическим резервом, или кратко резервом, величину, получае­мую по приведенному выше определению. В свою очередь под страховым резервом будем понимать активы, предназначенные для выполнения обязательств страховщика.

Перейдем к методу расчета резерва. Резерв можно опреде­лить на любой момент действия страхового контракта. Для на­чала определим его на начало действия договора до первой вы­платы премии. В случае, когда предусматриваются ежегодные пожизненные взносы пренумерандо в размере Рх, получим по определению для прямого метода

0Ух = Ах~ Рххйх = °> О7-16)

где 0VX — размер резерва для застрахованного в возрасте х лет, Ах — современная стоимость каких-либо страховых обяза­тельств.

Если резерв определяется для тех же условий, но на момент / после начала страхования, то

Л-^l-^^xM- <17-17)

Страхование на дожитие. Приведенное выше определение ре­зерва можно конкретизировать применительно к различным ус­ловиям и применяемым схемам страхования. Как и при обсуж­дении других проблем начнем с частного случая личного стра­хования — определения резерва при страховании на дожитие. В этом виде страхования предусматривается только единовремен­ная премия. Соответствующая сумма зачисляется на счет участ­ника и служит первоначальным резервом, в связи с чем форму­ла (17.17) упрощается до

Положим, что страховая сумма равна единице, R = 1, тогда

Л - 4*, - "Г" * *" " ~д^ (Ш9)-

*x+t ux+t

366

Нетрудно убедиться в том, что современная стоимость обя­зательств в данном виде страхования увеличивается во времени, так как по мере роста / знаменатель уменьшается.

В некоторых видах личного страхования, например пенсион­ном, оговаривается необходимость ведения персональных сче­тов застрахованных. Как будет показано ниже, средства, накоп­ленные на персональном счете отдельного застрахованного, не идентичны резерву. В связи с этим необходимо отчетливо пред­ставлять разницу между этими понятиями. В чисто иллюстра­тивных целях проследим, как изменяется во времени сумма на воображаемом (в данном виде страхования такие счета не ве­дутся) персональном счете застрахованного (величина S) и ре­зерв (tVx) при страховании на дожитие.