Финансовая математика (стр. 26 )

Рис. 5.4

циенту наращения меньше точного значения. Чем меньше диа­пазон /;+ /^ тем точнее оценка процентной ставки.

Применим теперь для расчета ставки программу НОРМА (Rate) пакета Excel.

Последовательность действий при использовании программы НОРМА

1. Вызвать: £, "финансовые функции", НОРМА.

2.  Ввести данные, характеризующие ренту: в строке Клер — число периодов,

в строке Выплата — размер члена ренты с отрицательным

знаком,

в строке НЗ — современную стоимость ренты (A<Rn) или

в строке ВС показать наращенную сумму ренты в конце ее

срока (S>Rn),

в строке Тип указать вид ренты: 0 — для ренты постнуме-

рандо и 1 — для ренты пренумерандо. Если вид ренты не

указывается, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ние автоматически показывается расчетная величина ставки за период в виде десятичной дроби. После нажатия кнопки ОК эта величина показывается в процентах в выделенной ячейке таб­лицы Excel.

ПРИМЕР 5.16. Допустим, предполагается путем ежегодных взно­сов постнумерандо по 100 млн руб. в течение 7 лет создать фонд в размере 1 млрд руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?

118

Определим исходный коэффициент наращения: s7;/ = 1000/100 = = 10. Для начала предположим, что искомая процентная ставка на­ходится в интервале 11—12%. Для этих значений ставки находим коэффициенты наращения: ad = s^g = 10,08901; a,= sTU = 9,78327. Откуда

10 - 9,78327 ' = 0,11 + 4ЛМП£%< r.-,onr*-,(0,12 - 0,11) = 0,11709, 10,08901 - 9,78327

или 11,709%.

Проверка: по формуле (5.5) находим: s7;11709 = 9,999. Таким образом, найденное значение ставки обеспечивает выполнение поставленных условий почти точно. Если точность ответа не уст­раивает, то следует сузить интервал между ставками /, и id.

Решим теперь эту же задачу, но с помощью Excel.

После вызова программы НОРМА вводим в окошко значения:

Кпер: 7,

Выплата: -100,

БС: 1000,

Тип: 0,

Ответ: 0,117121443.

§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Кратко рассмотрим методики расчета наращенных сумм и современных стоимостей для некоторых разновидностей дис­кретных постоянных рент. Постоянные ренты с непрерывным поступлением платежей рассматриваются в гл. 6.

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов.

Напомним, что под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Легко понять, что каждый член такой ренты "работает" на один период больше, чем в ренте по-стнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее здесь как 5, больше в (1 + /) раз аналогичной рен­ты постнумерандо:

S = 5(1 + 0. Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо

119

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начисле­нием процентов т раз в году

5=5(1 +j/m)m.

Для р-срочных рент, у которых т = 1 и т * р, получим:

5=5(1 + 04

5= 5(1 +j/m)m/P.

Точно такая же зависимость наблюдается и между современ­ными стоимостями и коэффициентами приведения рент пост-нумерандо и пренумерандо:

А = А(1 + 0; dn;i = an;i{\ + /) и т. д.

Важной для практики является рента с платежами в середи­не периодов. Например, в случаях, когда поступления от произ­водственных инвестиций распределяются более или менее рав­номерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым сме­щениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступле­ний за период относить к середине периодов. Наращенные сум­мы и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнуме­рандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим следующие соотношения:

А{/2 = А{\ + О1/2 при р = 1, т = 1,

А1/2 = А(\ + О1'2' при р > 1, т = 1,

А{/2 = A(l +j/m)m'2 при р = 1, т > 1,

А\/2 = Л(1 +j/m)m/2p при р > 1, т > 1.

ПРИМЕР 5.17. Определим поправочный множитель, необходи­мый для расчета современной стоимости ренты с платежами в середине периодов. Условия ренты постнумерандо: р = 12, т = 1, / = 10%. Искомый множитель 1,11'2х12 = 1,00398.

120

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсрочен­ной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется на­чать спустя обусловленный срок (льготный период). Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине нара­щенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты.

Пусть рента выплачивается спустя /лет после некоторого на­чального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна А. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет очевидно равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой рен­ты находим

tA = Av* = Яа„.у, (5.40)

где tA — современная стоимость отложенной на /лет ренты.

ПРИМЕР 5.18. Пусть в примере 5.9 рента выплачивается не сра­зу, а спустя 1,5 года после момента оценки. Современная стои­мость отложенной ренты составит

12,368 х 1.185"1'5 = 9,588 млн руб.

Современная стоимость отложенной ренты используется при решении целого ряда задач, чаще всего в расчетах, связанных с выплатами различного рода накоплений. Для иллюстрации об­судим одну из подобных задач. Пусть годовая ограниченная рента постнумерандо делится во времени между двумя участни­ками (например, речь идет о передаче собственности). Рента имеет параметры: R, п. Условия деления: а) каждый участник получает 50% капитализированной стоимости ренты; б) рента выплачивается последовательно — сначала первому участнику, затем второму.

Решение задачи сводится к расчету срока получения ренты первым участником, обозначим его как п{. В оставшийся срок деньги получает второй участник. Таким образом, первый уча­стник получает немедленную ренту, второй — отложенную. Из принятых условий деления ренты следует:

121

Учитывая, что п2 = п — л,, находим:

,-(и,р ■-с»)-'--1,,,

/ /

После ряда преобразований получим

_ -1п{[1 + (1 + i)-»]/2}
П{ 1п(1 + /)

Результат зависит только от общего срока ренты и процент­ной ставки, которая учитывается в расчете.

ПРИМЕР 5.19. Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, / = 20%. Пусть рента делится между двумя участниками на тех ус­ловиях, которые были выше приняты при выводе формулы. Тогда

Чп[(1 + 1,210)/2] ОЛв4 0 л« =------ "-------- ■———- = 2,981 - 3 года.

1 |П 1,2 ' oiUMct.

Доля второго участника — следующие 7 лет.

Вечная рента. Напомним, что под вечной рентой (perpetuity) понимается ряд платежей, количество которых не ограничено — теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда есть смысл прибегнуть к такой абстракции, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Примером могут служить некото­рые виды облигаций (см. гл. 11).

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна беско­нечно большой величине. На первый взгляд представляется бессодержательным и определение современной стоимости та­кой ренты. Однако это далеко не так. Современная величина вечной ренты есть конечная величина, которая определяется весьма просто. Выше было показано (см. (5.15)), что при п -+ оо пределом для коэффициента приведения является аж.. = 1//. От­куда для вечной ренты находим