Финансовая математика (стр. 23 )

ПРИМЕР 5.6. Продолжим наш сквозной пример 5.3—5.5. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производится по­квартально. По формуле (5.10) получим

(1 + 0,185 /4)4*5- 1

S = 4 х--------------- ——-------------- = 31,785 млн руб.

0,185

или по формуле (5.4)

(1 + 0,185/4)20- 1

S = 1 * S20;18,5/4 = 1 *------------- 0,185/4----------- = 31,?85 МЛН РУб>

Применим программу БЗ. Для этого введем данные:

Норма: 4,625%, Число периодов: 20, Выплата: -1,

НЗ и Тип не указываются, так как НЗ = 0 выплаты постнуме­рандо.

Ответ: 31,785

Рента р-срочная (р * /и). Определим теперь наращенную сум­му для наиболее общего случая — /ьсрочная рента с начисле­нием процентов т раз в году. Общее количество членов ренты равно пр, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начислен­ными процентами образуют ряд, соответствующий геометриче­ской прогрессии с первым членом R/p и знаменателем (1 + + j/m)mtP. Сумма членов такой прогрессии составит

104

_R (1 +j/mTtP"»P - 1 _ (1 + J/m)™ - 1

/> X (l+y/w)^-l p[(l +y/m)^-l]' (* '

ПРИМЕР 5.7. Если в ренте, наращенная сумма которой опреде­лялась в предыдущем примере, начисление процентов произво­дится ежемесячно, то

(1 +0.185/12)12*5- 1 S = 44[(1+ 0,185/12)12/4-1] * 32'025 МЛН рУб-

Непрерывное начисление процентов. Обсуждение методов оп­ределения наращенных сумм дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с непрерывным начислением процен­тов. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начислен­ными непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные платежи постнумерандо. Получим: R, Reb, Re2b, ..., Rel"~{)b. Сумма членов профессии равна

е6"- 1 S- *-jZJ = *'**> (5-12)

где е — основание натуральных логарифмов. Аналогично для /ьсрочной ренты находим

5= /? , л/п~ \ч =Rs<*> (5.13)

р(е№- 1) п>6

ПРИМЕР 5.8. Если бы в условиях примера 5.2 вместо ежегодно­го начисления процентов предусматривалось непрерывное их на­числение, причем сила роста равна 18,5%, то

е0,185x5 _ -J

S = 4 х —0 185 _ = 29»955 млн руб. При ежеквартальной выплате членов ренты получим

е0,185x5 _ -J

s = 4 * 4(e°.i85/4-D = 32'150 млн РУб-

Заметим, что непрерывное начисление процентов членов дис­кретной ренты дает в итоге такую же сумму, что и наращение по дискретной ставке / или у, если сила роста эквивалентна этим

105

ставкам. Продемонстрируем сказанное на примере. Сила роста, эквивалентная годовой ставке 18,5%, согласно (3.27) составит 6 = 1п(1 + 0,185) = 0,16974. Для годовой ренты получим (см. пример 5.3)

е0,16974х5 _ -J
S = 4 Х------------ 0,16974 _ = 28'900 МЛН РУб-

Сравнение результатов наращения годовых и ^-срочных рент постнумерандо с разными условиями выплат и наращения процен­тов. Как видно из приведенных выше примеров, частота плате­жей и наращения процентов заметно влияют на размер нара­щенной суммы. Для практика, очевидно, представляет опреде­ленный интерес соотношения этих сумм.

Обозначим сравниваемые суммы как S{p;m): так, 5(1 ;1) озна­чает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начисле­нием процентов, S(\;m) — аналогичную характеристику для ренты с начислением процентов т раз в году, наконец, S(pp>) — наращенную сумму /ьсрочной ренты с непрерывным начис­лением процентов.

Для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительно­сти рент и размеров процентных ставок (/ =у = б) получим сле­дующие соотношения:

S(l;\)<S(l;m)<S(l; *)<S(j);l)<S<j);m)<S<j);m)<S(p;m)<S(j>;oo)
/и>1 р>\ р>т>\ р=т>1 т>р>\

Приведенные неравенства могут быть использованы при выборе условий контрактов, так как позволяют заранее (до расчета) получить представление о результатах, связанных с конкретными условиями. Например, можно заранее сказать, что рента с условиями: р = 2 и т = 4 дает меньшую наращен­ную сумму, чем с/> = 4и/и = 2 при равенстве всех прочих ус­ловий.

В качестве иллюстрации приведем значения S(p;m) для рен­ты с параметрами п = 10, R = 10, / =7=6 = 6%:

	/я - 1	тш1	л-4	ж-12	т «■ <*>
р = \ />=4	131,81 134,74	132,37 135,35	132,65 135,67	132,85 135,88	132,95 135,99

106

§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

Годовая рента. Напомним, что под современной стоимостью потока платежей понимают сумму дисконтированных членов этого потока на некоторый предшествующий момент времени. Вместо термина "современная стоимость" (современная вели­чина) потока платежей в зависимости от контекста употребля­ют термины капитализированная стоимость или приведенная ее-личина. Как было показано выше, современная стоимость пото­ка платежей эквивалентна в финансовом смысле всем плате­жам, которые охватывает поток. В связи с этим данный показа­тель находит широкое применение в разнообразных финансо­вых расчетах (планирование погашения долгосрочных займов, реструктурирование долга, оценка и сравнение эффективности производственных инвестиций и т. д.). В общем виде метод оп­ределения современной величины потока платежей (метод пря­мого счета) рассмотрен в § 5.1. Здесь же объектом анализа яв­ляется постоянная финансовая рента постнумерандо.

Методы расчета современных стоимостей финансовых рент обсудим в том же порядке, что и методы наращения рент и поч­ти столь же детально. Начнем с самого простого случая — го­довой ренты постнумерандо, член которой равен R, срок ренты — п, ежегодное дисконтирование. Рента немедленная. В этих условиях дисконтированная величина первого платежа равна Rv, второго — Rv2, последнего — Rv". Как видим, эти величи­ны образуют ряд, соответствующий геометрической профессии с первым членом Rv и знаменателем v. Обозначим сумму чле­нов этой профессии через А:

A-Ryv' = Rv------------ --R—V--

h v-i

/ х- (5-14)

1- (l + i)

I

Назовем множитель, на который умножается R, коэффициен­том приведения ренты, он обозначен как апЧ (в литературе встречается обозначение an, j). Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1. Значения an;i табулированы (см. табл. 7 Приложения).

107

Поскольку рассматриваемый параметр часто применяется в финансовых расчетах, полезно, обратить внимание на некоторые его свойства. Очевидно, что чем выше значение /', тем меньше величина коэффициента. Нетрудно показать, что при / = О

%=о = Л-

При увеличении срока ренты величина апЛ стремится к не­которому пределу. При п = » предельное значение коэффици­ента составит

lim

!-(!♦«)-

(5.15)

Полученное выражение применяется при расчете современ­ной стоимости вечной ренты, о чем пойдет речь в § 5.5.

График зависимости апЧ от п показан на рис. 5.2.

Воспользуемся формулой (5.14) для определения взаимосвя­зи коэффициентов приведения ограниченной и вечной рент: