Финансовая математика (стр. 15 )

Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки нара­щения находятся в функциональной зависимости. Из равенст­ва множителей наращения

(1 + 0я = еЬп следует:

6 = 1п(1 + 0, (3.27)

/=€*-!. (3.28)

ПРИМЕР 3.16. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Нара­щенная сумма составит

S = 2 000 000 х е0'1*5 = 3297744,25 руб.

Непрерывное наращение по ставке = 10% равнозначно нара­щению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке. Находим

/zzeo1 - 1 =0,10517.

В итоге получим

S = 2 000 000(1 + 0.10517)5 = 3297744,25 руб.

Дисконтный можитель на основе силы роста (математиче­ское дисконтирование) находится элементарно, для этого ре­шим (3.26) относительно Р:

Р = Se-*n. (3.29)

Дисконтный множитель, как видим, равен е"*".

ПРИМЕР 3.17. Определим современную стоимость платежа из примера 3.11 при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12% и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. Получим в тыс. руб.:

Р = 5000е-°'12х5 = 2744,

Р = 5000(1 -0,12)5 = 2639.

Переменная сила роста. Пусть сила роста изменяется во вре­мени, следуя некоторому закону, представленному в виде не-

62

прерывной функции времени: 6, = /(*). Тогда наращенная сум­ма и современная величина определяются как

S - Ре9 ; /> « 5е • .

Функция времени может быть самого различного вида. Рас­смотрим только два ее варианта — линейную и экспоненциаль­ную. Начнем с линейной функции:

6,-6 + at,

где 6 — начальное значение силы роста, а — прирост силы ро­ста в единицу времени.

Нетрудно доказать, что

an Т

J&tdt -|(б + д/)л - 8л +

о о

Таким образом, множитель наращения находится как

6Я 4

Я - е 2 . (3.30)

ПРИМЕР 3.18. Пусть начальное значение силы роста равно 8%, процентная ставка непрерывно и линейно изменяется, прирост за год составляет 2% (а = 0,02). Срок наращения 5 лет. Для расче­та множителя наращения (3.30) найдем его степень:

0,02 х 52
0,08 х 5 + -*—--------- = 0,65.

Искомый множитель составит q = е0,65 = 1,91554.

Продолжим пример. Предположим, что сила роста линейно уменьшается (пусть а = -0,02). В этом случае степень множителя равна 0,15 и соответственно q = е015 = 1,16183.

Рассмотрим ситуацию, когда сила роста изменяется экспо­ненциально (по геометрической прогрессии):

&, = 6я<,

где б — начальное значение силы роста, а — постоянный темп роста.

63

В этом случае степень множителя равна

о lnfl'

а сам множитель находится как1

Я-*]па[ ■ (3.31)

ПРИМЕР 3.19. Начальный уровень силы роста 8%, процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 20%t a = 1,2), срок наращения 5 лет. Необходимо опре­делить множитель наращения. Степень этого множителя за весь срок равна

0,8 -j^y(1f25 - 1) = 0,65305, соответственно q = в065305 = 1,92139.

Срок ссуды и размер силы роста. Срок ссуды при постоянной силе роста найдем на основе (3.26):

я=~г-

При наращении с изменяющейся силой роста (с постоянным темпом роста а) на основе (3.31) получим

In п = —

lngx ln(5/ Р)

В свою очередь при наращении с постоянной силой роста

\n(S/ P)

6 =

п

При наращении с изменяющейся с постоянным темпом си­лой роста

lngx ln(5/ P)

6 ~ ап - 1

1 См. Математическое приложение к главе. 64

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (3.31)

fba'dt

Определим степень множителя наращения q « e°

ГЬа'Ш «6 —
i \na

о I Ina Inaj lna\ I

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997.

2.  Четыркин ЕМ., Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 2.

3.  Экономический анализ производственных инвестиций. М.: ЮНИТИ, 1997. Гл. 2.

4.  Cartiedge Я. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 4

ПРОИЗВОДНЫЕ

ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ.

КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ

§4.1. Средние процентные ставки

Если в финансовой операции размер процентной ставки из­меняется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет резуль-татов наращения или дисконтирования.

Начнем с простых ставок. Пусть за последовательные пери­оды л,, л2,..., пк начисляются простые проценты по ставкам /,, /2,..., ik. Искомые средние получим посредством приравнива­ния соответствующих множителей наращения друг к другу:

1 + N7= 1+2/1,/,.

Откуда

2/1,/, ''—JT' (4л)

где N = Z/i, — общий срок наращения процентов.

Найденный показатель представляет собой среднюю ариф­метическую взвешенную с весами, равными продолжительно­сти отдельных периодов.

Аналогичным способом определим среднюю учетную ставку:

2лД

ПРИМЕР 4.1. Контракт предусматривает переменную по перио­дам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному на­ращению исходной суммы? Находим среднюю ставку:

66

- 0,2 х 2 + 0,22 х 3 + 0,25 х 5

/ =----------------------- —-------------------- =0,231, или 23,1%.

Если усредняются сложные переменные во времени ставки сложных процентов, то из равенства множителей наращения

(iWf-lw/.niwJT'...

следует

/.ф+/1)Л,(1 + /2)Л2...-1. (4.3)

Средняя в этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

ПРИМЕР 4.2. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка, равная 15%, для следующих трех лет она составляет 20%. Средняя ставка за весь срок ссуды равна

/-Vl,152x1,23 -1-0,17974 или 17,974%.

Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в не­скольких однородных операциях, которые различаются сумма­ми ссуд и процентными ставками. Искомые средние ставки на­ходим из условия равенства соответствующих сумм после нара­щения процентов. Так, если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковы (я), то из равенства

следует

5>,(1 +л/) = 2/>,(1 + */,)

Т- (4.4)

Как видим, весами здесь являются суммы ссуд.

Перейдем к усреднению сложных ставок для однородных ссудных операций. Пусть сроки операций одинаковы (п). Из равенства соответствующих множителей наращения следует

67

Формулы (4.4) и (4.5) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы. В общих случаях они, разумеется, не ра­ботают. Однако решение соответствующих задач возможно, но более сложным путем.

§4.2. Эквивалентность процентных ставок

Как было показано ранее, для процедур наращения и дис­контирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим теперь те их значения, которые в конкрет­ных условиях приводят к одинаковым финансовым результа­там. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансо­вых отношений сторон в рамках одной операции. Для участ­вующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид став­ки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалент-ними.