Финансовая математика (стр. 27 )

д. = у- <5-41>

122

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зави­сит только от размера члена ренты и процентной ставки. Из (5.41) следует

R = AJ9 (5.42)

т. е. член вечной ренты равен проценту от ее капитализирован­ной стоимости.

Нетрудно убедиться в том, что отдаленные платежи оказыва­ют весьма малое влияние на величину коэффициента приведе­ния. С ростом п прирост этого показателя уменьшается (см. рис. 5.2). В силу сказанного при больших сроках ренты и высо­ком уровне ставки для определения современной стоимости можно воспользоваться формулой (5.41) без заметной потери точности. Например, для ограниченной ренты при / = 20%, п = 100 и R = 1 получим точное значение: А = 4,999999, а по формуле (5.41) находим Ах= 5.

Для других видов рент получим:

4.- р[(1+ 0./,_ ,j при/>>1,«=1;

Ада = — при р = т > 1.

ПРИМЕР 5.20. Требуется выкупить вечную ренту, член которой равен 5 млн руб., выплачиваемых в конце каждого полугодия. Ка­питализированная стоимость такой ренты при условии, что для ее определения применена годовая ставка 25%, составит:

А* = 2(1,25^- 1) = 42,361 МЛН Руб*

Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встреча­ются с рентами, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год. Определим наращенную сумму и совре­менную стоимость таких рент.

Пусть г — временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину 7Vr, второго — 7V2r, последнего члена — 7V, где Г— величи­на члена ренты, п — срок ренты, кратный г. Последователь-

123

ность дисконтированных платежей представляет собой геомет­рическую профессию с первым членом 7Vr, знаменателем vr и числом членов п/r. Сумма членов такой прогрессии при усло­вии, что Г= 1, равна:

** - v—ггг - (i + /y-i = v (5-43)

Разумеется, указанное в формуле соотношение коэффициен­тов приведения и наращения можно использовать в случаях, когда г — целое число лет.

ПРИМЕР 5.21. Сравниваются два варианта строительства неко­торого объекта. Первый требует разовых вложений в сумме 6 млн руб. и капитального ремонта стоимостью 0,8 млн руб. каж­дые 5 лет. Для второго затраты на создание равны 7 млн руб., на капитальный ремонт — 0,4 млн руб. каждые 10 лет. Временной го­ризонт, учитываемый в расчете, — 50 лет.

Капитализированная сумма затрат при условии, что / = 10 %, оценивается для каждого варианта в следующих размерах:

АА = 6 + ^№- = 7,3 млн руб.,

S5;10

А2 = 7 + ^^ = 7,25 млн руб.

S10;10

Таким образом, в финансовом отношении варианты оказыва­ются равноценными при принятом уровне процентной ставки. Чем ставка выше, тем меньше влияют на результат затраты на ремонт. Так, если сравнение производится при ставке 20%, то получим Л1 = 6,39, А2 = 7,05.

Переменная процентная ставка. На практике иногда сталки­ваются с потоками платежей, предполагающих применение пе­ременных во времени процентных ставок, например, при рест­руктурировании задолженности. Так, в последнем случае для облегчения положения должника применяются низкие ставки в первые годы выплат процентных платежей и более высокие в последующие (см. § 9.5).

Изменения размеров ставок могут быть какими угодно. Ес­ли же эти изменения "ступенчатые", то при определении нара­щенной суммы и современной стоимости постоянной ренты резонно применить стандартные формулы. Пусть для постоян-

124

ной ренты постнумерандо со сроком 10 лет предусматриваются два уровня процентной ставки, применяемые по пятилетиям. В этом случае

А - Ras. A + *fl5;/2(l + /|) •

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 4, 5.

2.  , Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 3, 4.

3.  Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 6

ПЕРЕМЕННЫЕ

И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ.

КОНВЕРСИЯ РЕНТ

§6.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда размеры членов пото­ка платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продук­ции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем та­кого потока является переменная рента. Члены переменной рен­ты изменяются по каким-то установленным (принятым, огово­ренным и т. д.) законам или условиям развития.

Ниже рассматриваются несколько видов переменных рент, причем с меньшей детальностью, чем были обсуждены посто­янные ренты. Основное внимание уделено принципиальным зависимостям, знание которых позволяет разработать расчет­ные формулы для любых конкретных видов переменных рент.

Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во време­ни. Изменения размеров членов ренты происходят здесь соглас­но арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность

Л, R + a, R + 2а,..., Л + (л - \)а.

Величина /-го члена ренты равна R + (/ - \)а. Определим наращенную сумму такой ренты. Для ренты го­довой постнумерандо получим1:

/ а\ navn
Л = [*+7]0»;<-- Г' (61)

где v — дисконтный множитель по ставке /.

1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126

Напомним, что atri — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что в приведенной записи результат представляет собой современ­ную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за выче­том поправочной величины nav" / /.

Наращенную сумму ренты легко получить, умножив форму­лу (6.1) на (1 + /)л. После чего

па

j-»+tN-t

(6.2)

Определим теперь влияние на современную стоимость рен­ты абсолютного прироста платежей. Для этого преобразуем (6.1):

А = Ra ... +

an-i ~ nv"

-а.

(6.3)

Данная формула показывает, что А линейно зависит от а. Аналогичным образом на основе (6.2) получим линейную зави­симость для S:

(s.., - п) S= Rs .+ "''. а.

(6.4)

Формулы (6.1) и (6.2) и их преобразования (6.3) и (6.4) по­лучены для рент постнумерандо. В свою очередь для рент пре­нумерандо находим

(1 + 0 =

п-\

/ па

(1 + /).

LV

А =

navn

/ I л»'

nav

= l* + 7i*«/

SnJ ~

S=\R+-

(6.5)

(6.6)

Напомним, что ал;/, i"ir/ — коэффициенты приведения и нара­щения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.5).

ПРИМЕР 6.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн руб. После­дующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн руб. Начис-

127

ление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат — 10 лет.