Финансовая математика (стр. 68 )

0

Цена акции

Прибыль

Рис. 15.5

324

§15.2. Цена опциона

Как было показано выше, реальные прибыль или потери от опциона для обеих участвующих сторон зависят от цены испол­нения, рыночной цены актива на момент исполнения опциона, премии. В условиях развитого рынка опционов цена исполне­ния устанавливается на бирже опционов. Обычно это величи­на, близкая к текущей рыночной цене актива. Если биржа оп­ционов отсутствует, то единственный путь установления цены исполнения — непосредственная договоренность покупателя и продавца опциона.

Рыночные цены актива, на которые ориентируются стороны в опционной сделке, не реальные, а ожидаемые величины. Можно полагать, что чем больше они отклоняются от цены ис­полнения, тем меньше их вероятность. Если принять в качест­ве одной из возможных рабочих гипотез нормальное распреде­ление этих вероятностей, то зависимость "вероятность—при­быль" для опциона колл на фафике выглядит таким образом (см. рис. 15.6), что цена исполнения £ является центром рас­пределения вероятностей. С увеличением рыночной цены при­быль увеличивается, одновременно уменьшается вероятность этого события.

В разработанных математических моделях для определения цены опциона, одна из которых кратко охарактеризована ниже, вместо нормального распределения обычно используется лога­рифмически нормальное (логнормальное) распределение, а центр распределения относят к цене исполнения. Иначе гово­ря, предполагается, что распределение вероятностей для ожида­емых рыночных цен является асимметричным (вершина сдви­нута влево). Таким образом, предусматривается, что вероят­ность получения прибыли выше, чем потерь.

Наиболее интересным среди перечисленных факторов явля­ется премия (цена опциона). Выше отмечалось, что цена опци-

Цена акции

Прибыль *

Вероятность реализации

325

она складывается на рынке. Предлагаемая продавцом цена должна быть конкурентоспособной и в то же время обеспечить ему некоторую прибыль.

К проблеме формирования цены можно подойти аналитиче­ски. Прежде всего можно определить "естественные" границы этой цены. Так, в первом приближении для европейского оп­циона колл минимальная цена равна нулю, максимальная — цене акции, так как право на покупку вряд ли может превышать цену самой акции. Таким образом,

О < с < 5,

где с — цена опциона, S — текущая цена акции.

В то же время цена опциона к моменту истечения срока рав­на разности ожидаемой рыночной цены и цены исполнения:

c=S-E. (15.1)

Верхние и нижние границы опциона колл показаны на рис. 15.7.

Для того чтобы уточнить границы значений цены опциона, а также лучше представить себе свойства опциона и фигури­рующих в нем показателей, сравним расходы на приобретение акции непосредственно на рынке (стратегия А) и при покуп­ке опциона колл (стратегия Б). Пусть срок опциона и приоб­ретения акции — один год, цена акции равна S, цена испол­нения Е.

Возможные стратегии покупателя и их финансовые послед­ствия представлены в табл. 15.1. В графе "Расходы" этой табли­цы показаны стоимостные показатели на день исполнения оп­циона, в графе "Инвестиции" — его расходы на день покупки опциона. Опцион при условии S < Ене реализуется, акции мо-

Цвна опциона а

Нижняя граница цены Цена акции

326

гут быть куплены на рынке (стратегия А). Если S > Е, то сле­дует применить стратегию Б. Премия для альтернативной ситу­ации определена в размере с = S — Е. Величина Ev означает со­временную стоимость цены исполнения на день покупки опци­она, v — дисконтный множитель. Расходы на приобретение ак­ции во всех ситуациях равны S.

Таблица 15.1

Стратегия	Расходы	Инвестиции
покупателя	5, <Е	St>£
А. Покупка акции	S	—	Sv
Б. Опцион Премия Цена исполнения	0 Е	S-E Е	с Ev
Итого для Б	Е	S	(с + Ev)

Теперь становится очевидным, что вместо (15.1) следует ис­пользовать

с = S - PV(E) = S - Svy (15.2)

где ЯК— оператор определения современной стоимости на мо­мент выплаты премии, v — дисконтный множитель по рыноч­ной процентной ставке.

Аналогичным образом получим ограничение для цены опци­она пут:

с = PV(E) - S.

Приведенные выше выражения позволяют получить значе­ния премии для нескольких величин цены акции. Так, если ожидаемая цена акции минимальна, то премия опциона колл, естественно, нулевая. Для ситуации, когда S = Е, получим ма­ксимальную величину премии: с = Е - PV(E).

§15.3. Модель Блека—Шоулза

Опционы представляют определенный интерес не только в практическом плане, но и в теоретическом — с позиции коли­чественного анализа, который осуществляется с помощью раз­работки специальных моделей (option models), описывающих взаимосвязи основных параметров опционов. Следует, однако,

327

заметить, что теоретические цены опционов, полученные по моделям, в силу неполноты учета экономических условий и их изменчивости, условности входящих статистических данных, как правило, отличаются от рыночных. Вместе с тем, принято считать, что если рыночная цена опциона сильно занижена от­носительно теоретической цены, то есть основание для его по­купки.

Детальное рассмотрение моделей опционов неосуществимо в рамках учебника. Поэтому ограничимся только краткой харак­теристикой наиболее известной из них — модели Блека—Шоул-за (Black—Scholes). Модель Блека—Шоулза разработана в раз­личных модификациях для некоторых видов опционов. Остано­вимся на одной, самой простой модификации, — опцион колл цен обыкновенной акции, при условии, что дивиденды по ак­ции не выплачиваются до дня исполнения.

Выше уже говорилось о том, что цены опционов определя­ются на рынке и зависят от ряда известных и неизвестных на момент его покупки параметров. К основным параметрам мож­но отнести:

— уровень цены исполнения,

— текущая цена базового инструмента,

— распределение вероятностей рыночной цены базового ин­струмента,

— размер процентной ставки,

— срок исполнения опциона.

Все названные факторы учитываются в формуле Блека—Шо­улза. Для ее записи введем обозначения:

с — цена опциона,

S — текущая цена акции,

Е — цена исполнения,

е4** — дисконтный множитель на срок / по непрерывной

ставке б, / — срок до даты исполнения, S — непрерывная процентная ставка (сила роста), принятая

для дисконтирования, N(dx) и N(d2) — функции нормального распределения, о2 — дисперсия доходности акции (доходность измеряется в

виде ставки непрерывных процентов). Находим

с = S х #Ц) - Е х е~ы х N(d2). (15.3)

328

ПРИМ вестнь года),

rs*

II ф _к ОЙ СЛ

u5io

II s =1

ОЛОЖИ епара 0,09,

°* £ 2

II Ф "

°3 1

1ь Е °

т СП ш

ю II 2

§ Ш1

|"^5

II Э

« " о

т\

«к- - *

g ^ S

I II О

X 2 S

rou ьээ ено

^1з

s °° 2

f? o^

СЛ 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 о — То "ы 4^ "Ln Ъ\ Vj Ъо чо "о — to *u> 4^ Vi Ъ\ "•<* Ьо so	«J
оооооооооооооооооооо _ — —ооооооооооооооооо UiU-SOOOONU»^UWW---000000	N(d)
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о bo^j^^^ul^To^—o^o^-tol^^^^sVibovo	*•
о р о о о о р р о о р р р р о р р о р р 0000Ui-Uivl\O\£)\0OOOOt4)t00^NJ-^ — OvlUi^^OWOOVOO- Гч)^ — Q\ Ui Ы О SO -	N(d)
OO^bNUlVt^NJ^O^boVl^st^V^'rO — OSO	4
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ° ^C ^P ^C ^P ^C - sO vO SO SO SO vp sO vp vO vO vp oo bo oo oo SDSOSOsOsDOOOOOO«g>JO>Ui$U-*0000>^>-N]C\LAW-'SOOSK>N)»*^UUlWSOWA^-*Lft	W)