Финансовая математика (стр. 50 )

«0,26956, или 26,956%.

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности — купонную, те­кущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полу­ченной выше формуле (11.2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Поскольку поступле­ния по купонам представляют собой постоянную ренту постну-мерандо, то член такой ренты равен gN9 а современная ее стои­мость составит gNan. n если купоны оплачиваются ежегодно, и gN(№.r если эти выплаты поизводятся р раз в году, каждый раз по ставке g/p. Дисконтированная величина номинала равна Nvn. В итогб получим следующие равенства. Для облигации с годовы­ми купонами

Р « Nvn +gN^v* « Nvn + gNan. h (11.6)

l

236

откуда

Для облигации с погашением купонов по полугодиям и по­квартально часто применяют

где a(pJ.. — коэффициент приведения /ьсрочной ренты (р = 2, Р = 4)Я,/.

Во всех приведенных формулах Vя означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения /.

Б зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодо­выми и квартальными выплатами текущего дохода для дискон­тирования применяется годовая номинальная ставка, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается рав­ным числу раз выплат купонного дохода (р = /и). Таким обра­зом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид

где у — номинальная годовая ставка, рп — общее количество ку­понных выплат, g — годовой процент выплат по купонам.

Искомые размеры ставок (/ nj) в формулах (11.8) и (11.9) не­сопоставимы, так как получены для разных условий: т = 1 и т = р.

При решении приведенных выше равенств относительно не­известной величины / или J сталкиваются с такими же пробле­мами, что и при расчете / по заданной величине коэффициен­та приведения ренты (см. § 5.3). Искомые значения ставки по­мещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом. В одной из версий пакета Excel содержится программа ДОХОД (Yield) для расчета /.

Оценим / с помощью линейной интерполяции:

/=/'+ к,1K„(i"-i% (НЮ)

237

где Г и /" — нижнее и верхнее значения ставки помещения, ог­раничивающие интервал, в пределах которого как ожидается на­ходится неизвестное значение ставки, К\ К'1 — расчетные значе­ния курса соответственно для ставок /', /". Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что / >g при К < 100.

В финансовой литературе иногда рекомендуют метод при­ближенной оценки, согласно которому

£+(l------- —)/п

{ 100J'

В этой формуле средний годовой доход от облигации соот­носится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки. Чем больше курс отличается от 100, тем больше погрешность.

ПРИМЕР 11.4. Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются раз в году по норме 8%, куплена по курсу 65.

Текущая доходность по облигации: 8/65 = 0,12308.

Для расчета полной доходности запишем исходное равенство (см. (11.7)):

0,65 = (1 +/Г5 + 0,08а5;/. Приближенное решение по (11.11) дает

/= В+ (100-65)/5

(100+ 65)/2 u»,ol°*-

Проверка: при данной величине доходности рыночный курс со­ставит

-^ = 1,18182-5 + 0,08а5.18182 = 0,6829.

Курс заметно выше 65 — как видим, доходность занижена. Положим, что искомая ставка находится в интервале 12,5 + 20%. Соответственно получим К' = 0,83977 и К" = 0,64113. По интерполяционным формулам находим:

83,977 - 65 /=12'5+ 83,977 - 64,113 (И» - 12,5) = 19,66%.

238

Курс при такой ставке составит 64,87. Расчетный курс весьма близок к рыночному, и, следовательно, данная оценка ставки точ­нее, чем оценка 18,18%. Точная величина / = 19,62%.

Все рассмотренные выше формулы для расчета полной до­ходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов при условии, что проценты на эту дату уже выплачены. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки, так как не учитывают накопленные проценты. Необходимо принять во внимание, что срок погашения и выплат процентов до момента оценки сокращается. Доходность в этом случае можно определить на основе следующего равенства:

где к — доля купонного периода, d — количество оставшихся купонов.

§11.3. Дополнительные сведения

по измерению

доходности облигаций

Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала. В

этом случае проценты начисляются на сумму номинала, а при­рост капитала равен С - Р9 где С — выкупная цена. Соответст­венно, при оценке ставки помещения необходимо внести соот­ветствующие коррективы в приведенные выше формулы. На­пример, внеся коррективы в (11.6) и (11.7), получим

P=Cv» + gNan;i, (11.12)

l^ = |v^^;/, (11.13)

а вместо (11.11):

239

In

/2

/ «

gN+(C- P)l n (C + P) /1

8 \N 100

N 100

(11.14)

Ставка помещения для серийных облигаций. Общий принцип определения полной доходности и в этом случае не изменяет­ся: рыночная цена приравнивается к сумме членов потока платежей, дисконтированных по неизвестной ставке помеще­ния. Однако число этих членов меняется от серии к серии. В связи со сказанным в расчет обычно берется то число членов потока, которое находится в интервале от начала до среднего ее срока, метод расчета последнего рассмотрен в § 11.4 (см. (11.19)).

Сравнение показателей доходности облигаций. Нетрудно уста­новить, что соотношения между характеристиками доходности зависят от курса облигации. Так, для облигаций, у которых К < < 100, находим g < it < i < /', и наоборот, если К > 100, то g > > /, > / > Г. Наконец, если курс равен 100, то все показатели до­ходности равны купонному доходу при ежегодной его выплате.

Динамика показателей доходности в зависимости от курса показана на рис. 11.1

Доходность к

Курс

Доходность облигаций с учетом налогов. До сих пор мы не

принимали во внимание налоги на доходы, которые приносят облигации. Отсутствие развитого пакета законов о налогообло­жении доходов от ценных бумаг не позволяет при обсуждении этой проблемы исходить из отечественной практики. Во многих странах ставки налога на доход дифференцированы по видам

240

ценных бумаг и по источнику дохода. Обычно предусматрива­ется наименьший налог на доходы от государственных или му­ниципальных ценных бумаг. Что касается облигаций, то нало­гом в большинстве случаев облагается только купонный доход. Если предусматривается налог на прирост капитала, то он час­то устанавливается по другой ставке. Уровень налоговых ставок во многих странах зависит и от категории инвестора. Напри­мер, в некоторых странах пенсионные фонды, которые обычно являются крупными инвесторами в облигации, облагаются ми­нимальным налогом, если вообще облагаются.

Оценка полной доходности облигаций с учетом выплачивае­мого налога осуществляется так же, как и без учета этого фак­тора. Отличие заключается в том, что поток платежей теперь состоит не из показателей брутто-поступлений, а из сумм чис­того дохода.

Если прирост капитала облагается налогом, то инвестор по­лучит в конце срока N — (N — Р)т, где т — ставка налога на прирост капитала. В свою очередь, размер получаемых процен­тов сократится до gN(\ — /), где / — ставка налога на проценты. В итоге вместо исходного равенства (11.6) получим

/>= [N - (N- P)m]v» + gN(l - l)an;y, (11.15)

где Vя дисконтный множитель по ставке у.

Найденное на основе данного равенства значение у характе­ризует ставку помещения с учетом выплаченных налогов. Разде­лим обе стороны равенства на N. После чего нетрудно получить