Финансовая математика (стр. 29 )

§6.3. Постоянная непрерывная рента

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксиро­ванные интервалы времени (периоды ренты). Вместе с тем ино­гда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предполо­жение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно при анализе сложных производственных долгосрочных инвестиций.

Обсудим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости, а также некоторых параметров, характеризующих постоянную непрерывную ренту, при условии, что применяет­ся годовая дискретная процентная ставка. По определению у непрерывной ренты р -* ». Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его как ап. г Для этого необходимо найти предел коэффициента приведения /ьсрочной ренты при р —* »:

а „., = lim а^\ = lim f/l , ч|/я--- —

Непосредственная подстановка р = » в знаменатель приво­дит к неопределенности:

132

1

оо [(1 + /)■/•- I]'

Раскроем неопределенность, применив правило Лопиталя. Получим

г~*р[(\ + l)i/p - 1] 1п(1 + /)' Таким образом,

1 - (1 + /Г"

*«- |П(1,9 ■ <«°>

Аналогичным путем получим коэффициент наращения не­прерывной ренты

(1 + 0я - 1

'*" и1 + о ' (62,)

Очевидно, что переход от дискретных платежей постнуме-рандо к непрерывным увеличивает коэффициенты приведения и наращения в / / 1п(1 +0 раз. Таким образом,

_______ i________________________ #

"л;/ " 1п(1 + 0 *w;/' *«* " 1п(1 + 0 *я;/ ■

ПРИМЕР 6.5. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторож­дения полезных ископаемых составят 1 млрд руб. в год, продол­жительность разработки 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохо­да при дисконтировании по ставке 10% составит:

1 - 1,1-м А = 1000—гт-j— = 6446,91 млн руб.

Заметим, что формулы (6.20), (6.21) предполагают непрерыв­ное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса (поступление денег и наращение процентов) непре­рывны. Для получения формул соответствующих коэффициен­тов воспользуемся формулами эквивалентности между непре­рывными и дискретными ставками: 6 = 1п(1 + /); / = еь — 1, где,

133

напомним, 6 — сила роста. Перепишем формулы (6.20) и (6.21), использовав эти соотношения. Получим:

1 - е-ъп

*** = ——' <6-22>

^=—т~- (623)

Заметим, что формулы (6.20), (6.21) и (6.22), (6.23) дают оди­наковые результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными (см. § 4.2).

В табл. 5 и 8 Приложения содержатся значения коэффици­ентов наращения и приведения непрерывной ренты.

ПРИМЕР 6.6. Пусть в примере 6.5 дисконтирование осуществля­ется по силе роста 10%, тогда

~оТ

А = Rdn, b = 100°----------- ~<------ = 6321,21 млн руб.

Эквивалентная дискретной ставке 10% (которая была приме­нена в примере 6.5) сила роста составит 6 = 1п1,1 = 0,09531, или 9,531%. Откуда

А = 1000----- 51)9531---- = 6446'91 млн руб-

Формулы (6.22) и (6.23) можно получить и с помощью ин­тегрирования. Например, коэффициент приведения находим следующим образом:

о

I 6

,-6х/^ ' л-6х/

\-е

-6х/|

Остановимся теперь на одном частном, но практически важ­ном вопросе. Определим величину коэффициента наращения непрерывной ренты для одного годового интервала времени. Обозначим коэффициент наращения р-срочной ренты для это­го интервала как 1{. Его предел при р -* » составит

S{ 1п(1 + /)'

134

Разложим эту функцию в степенной ряд, ограничившись первыми тремя членами:

1 1 ,

*,-i + 7''-7T/2-

Близкий к этому результат дают и первые три члена разло­жения бинома:

(1 +/)'/>= l+i-z-i-Я. В итоге имеем

f, - (1 + /)"/2.

Аналогично находим коэффициент приведения непрерыв­ной ренты за годовой период:

ах ~ (1 4- /)-'/2.

Иначе говоря, равномерная и непрерывная выплата годовой суммы Р примерно равнозначна разовой выплате этой суммы в се­редине года,

Определение срока и размера ставки для постоянных непре­рывных рент. Начнем с определения срока для случая, когда ис­ходной является современная стоимость данного потока плате­жей. Решим (6.20) относительно п , принимая во внимание, что А = Ran;i:

п =------- Х—ь------- '-. (6.24)

Аналогично для случая, когда исходной является наращен­ная сумма ренты, получим:

1п(|б+1 п----- ^—----- -. (6.25)

135

ПРИМЕР 6.7. За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в 5 раз по сравнению с годовой суммой взносов, если последние осуществляются непрерывно и равномерно в пределах года? На взносы начисляются проценты, сила роста 8%. Здесь S/R = 5, 6 = 0,08, отсюда согласно (6.25)

Ш(5х 0,08 + 1) лг%4

п = 7Г^ = 4»21 г°Да-

0,08

Что касается определения силы роста по всем остальным за­данным параметрам ренты, то здесь возникают те же затрудне­ния, с которыми мы встретились при решении аналогичной зада­чи для дискретной ренты. Наиболее простым выходом является интерполяция и метод Ньютона—Рафсона. С помощью метода Ньютона—Рафсона получим следующую рекуррентную1 формулу:

\-е *-------- ок

R

ПРИМЕР 6.8. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста, если затрачено 1000 млн руб., годовая отдача ожи­дается в размере 200 млн руб., посупающих равномерно в пре­делах года, срок отдачи — 8 лет.

Применим формулу (6.26). Пусть начальное значение 60 = 0,12, тогда

1 -в"0-12*8- 5 х0,12 61=0'12----------------- 8в-о,12х8.-5--------- =0'1288'

Проверка: <*8;12 88 = 4,992. Очевидно, нет необходимости в сле­дующей итерации.

§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей

В предыдущей главе были обсуждены непрерывные постоян­ные потоки платежей. Там предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единствен­но возможным. На практике, особенно при анализе производст-

1 Доказательство см. в Математическом приложении к главе.

136

венных инвестиций, поток платежей может существенно изме­няться во времени, в том числе следуя какому-либо закону.

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Л, =/(')> то общая сумма поступлений за время п рав­на ff[t]dt. В этом случае наращенная сумма (при начислении

о процентов используется процентная ставка в виде силы роста 6) находится как

5-//(/)е"Мл.

О