Финансовая математика (стр. 30 )

Современная стоимость такого потока определяется как

Л-//(')е"5х'Л-о

Для того чтобы рассчитать величины А и 5, необходимо оп­ределить конкретный вид функции изменения платежей и зна­чения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить, исходя из соотношения

S = А&™. (6.27)

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функ­ция потока:

Rt= Rq + at, (6.28)

где /^ — начальный размер платежа, выплачиваемого в едини­цу времени, в котором измеряется срок ренты.

Современная стоимость получена с помощью интегрирова­ния функции потока платежей:

A «jf(/io +at)e-bytdt « В^е'шЛ + ajte'bxt -

О 0 0

(6.29)

Я0 + -)ак6--пе-ЬхП

Rodъъ + - (а „;5 - пе~Ьхп)а 5

137

где ап.6 — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

В последней записи наглядно представлено влияние началь­ного размера платежа и приростов.

ПРИМЕР 6.9. Намечается в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млн руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска — 10 млн руб. Необходимо определить суммарный объем выпуска с начисленными процентами. Сила роста 8%. Определим коэффициент приведения

•J _ в-0,08 х 3 0,08

*3;8 =------ ^^-------- = 2.66715.

Современная стоимость ренты

А = 11<> + "^Г12.66715 - -г-гг-Зе0-08 *3 = 30,5 млн руб.
[ 0.08J 0,08

Искомая наращенная сумма S = 30,5 х 1,083 = 38,4 млн руб.

Экспоненциальный рост платежей. Функция потока платежей

Rt = Re<*\ (6.30)

где q — непрерывный темп прироста платежей.

Современная величина такой ренты определяется следую­щим образом:

п п i л. Ля"ь\

Rfei'e^'dt- RCe^ > dt - R У6)" _ 1 -R------------- -. Разность q — Ь определим следующим образом: где к — дискретный темп прироста. 138

А. ЯСе"'е-ыЛ. ЯСе^'- -«

(6.31)

ПРИМЕР 6.10. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если Я = 100, / = 7%, п = 3 года. Из условий задачи сле­дует:

1 + 0,05 Таким образом,

в -0,01887x3 - «J

А = 10° па«Мт—=291,5,

-0,01887

S = А(1 + /)3 = 291,5 х 1,073 = 357,1.

§6.5. Конверсии рент

Виды конверсии. В практике иногда сталкиваются со случая-ми, когда на этапе разработки условий контракта или даже в хо­де его выполнения необходимо в силу каких-либо причин из­менить условия выплаты ренты. Иначе говоря, речь идет о кон­вертировании условий, предусматриваемых при выплате финансо­вой ренты. Простейшими случаями конверсии являются: заме­на ренты разовым платежом (выкуп ренты), или наоборот, за­мена разового платежа рентой (рассрочка платежа). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну — консолидация рент. Общий случай конверсии — замена ренты с одними условиями на рен­ту с другими условиями, например, немедленной ренты на от­ложенную, годовой — на ежеквартальную и т. д. Ясно, что все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к измене­нию финансовых последствий для каждой из участвующих сто­рон, то конверсия должна основываться на принципе финансо­вой эквивалентности (см. гл. 4).

Конверсия рент широко применяется при реструктурирова­нии задолженности. Как известно, при этом нередко условия погашения долга смягчаются, однако принцип эквивалентности соблюдается и в этих случаях, обычно, правда, в урезанном, ес­ли так можно сказать, виде. Подробнее о реструктурировании долга будет сказано в гл. 9. Здесь же обсудим несколько основ­ных случаев конверсии рент.

139

Выкуп ренты. Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом. Решение проблемы здесь очень простое. Искомый размер выкупа должен быть равен современ­ной стоимости выкупаемой ренты. Для решения задачи в зави­симости от условий погашения задолженности выбирается та или иная формула расчета современной стоимости потока пла­тежей. Естественно, что применяемая при расчете современной стоимости процентная ставка должна удовлетворять обе участ­вующие стороны.

Рассрочка платежей. Обсудим теперь задачу, обратную выку­пу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и стороны согласились, что задолженность будет погаше­на частями — в рассрочку, то последнюю удобно осуществить в виде выплаты постоянной ренты. (, например, предлагал оплатить несколько его картин пу­тем выплаты соответствующего аннуитета.)

Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, сумме дол­га. Задача обычно заключается в определении одного из пара­метров этой ренты — члена ренты или ее срока — при условии, что остальные параметры заданы. Подобного рода задачи под­робно обсуждались в § 5.4, поэтому здесь нет смысла останав­ливаться на них.

Объединение (консолидация) рент. Объединение рент, оче­видно, заключается в замене нескольких рент одной, парамет­ры которой необходимо определить. В этом случае из принци­па финансовой эквивалентности следует равенство современ­ных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидирован­ных) рент, что соответствует равенству

Л = 2ЛЩ, (6.32)

где А — современная стоимость заменяющей ренты, А — сов­ременная стоимость?-й заменяемой ренты.

Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и /ьсрочными и т. д. Что касается за­меняющей ренты, то следует четко определить ее вид и все па­раметры, кроме одного. Далее, для получения строгого баланса условий, необходимо рассчитать размер неизвестного парамет-

140

pa исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если за­меняющая рента постнумерандо является немедленной и задан ее срок я, то из (6.32) следует

R = -т±. (6.33)

я;/

В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок новой ренты. Обычно задача сводится к расчету п по заданно­му значению анЧ (см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расче­та величина коэффициента приведения определяется условия­ми задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:

-»;/ ; R

а„., =-------- :------- = -JL-r-. (6.34)

Если 2, Aq известно, то, определив на основе (6.34) величину

ч п, получим

«|+* • <"5)

Как видим, для того чтобы задача имела решение, необходи­мо соблюдать условие:

< 1.

R

ПРИМЕР 6.11. Три ренты постнумерандо — немедленные, годо­вые — заменяются одной отложенной на три года рентой постну­мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: Rq = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20%, то сумма современных стоимостей этих рент составит немного бо­лее 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6.1).

Размер члена заменяющей ренты равен

141

3,60459 x 1,2"3

ff =

2002,946

а7;20^3

2002,946

зг = 960,189 тыс. руб.

Если бы заменяющая рента была немедленной, то

2002,946 Я = 1^^" = 555'665ТЫСРУ6-

Таблица 6.1

	Определение члена	заменяющей ренты
Рента (q)	"я	"я	/	вл,-Я»	Яап,-20
1	100	6	20	3,32551	332,551
2	120	11	20	4,32706	519,472
3	300	8	20	3,83716	1151,148
Итого	520				2002,946

Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, скажем 1500 тыс., и необходимо най­ти срок заменяющей ренты. Ход решения: определяется совре­менная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок.