Финансовая математика (стр. 57 )

Таблица 12.2

t	Я	15%	25%	30%
1	-100	-86,957	-80,000	-76,923
2	-150	-113,422	-96,000	-88,757
3	50	32,876	25,600	22,758
4	150	85.763	61,440	52,519
5	200	99,435	65,536	53,866
6	200	86,466	52,429	41,435
N		104,162	29,005	4,900

Возьмем в качестве исходной ставку, равную, допустим, 15%. Найдем величину чистого приведенного дохода по этой ставке: Л/(1,15) = 104,16, т. е. он заметно отличается от нуля. Принятое значение ставки явно мало. Изменяя величину ставки в нужном направлении, приближаемся к условию N(r) = 0. Повысим г до уровня 1,25. Получим N(1,25) = 29,0. Ноль в значении функции опять не достигнут. Далее находим Л/(1,3) = 4,9. Можно окончить расчет и удовлетвориться достигнутой точностью или продолжить его и еще раз увеличить ставку, скажем, до 31%. В этом случае N(1,31) = 0,8. Увеличивать точность расчета далее, вероятно, не имеет смысла.

Применим теперь программу ВНДОХ. Получим J = 0,3216. Со­ответственно, Л/( 1,3216) = 0,001.

В случае, когда инвестиции "мгновенны", а поток доходов может быть представлен в виде постоянной ренты, задача упро­щается и сводится к определению ставки / на основе знакомо­го нам равенства:

п\Г

К= R*

Из этой формулы следует

an;J =

jK R

1 - (1 + J)~n J

(12.12)

271

Таким образом, задача заключается в расчете искомой став­ки по заданному коэффициенту приведения постоянной ренты. Эта проблема обсуждалась в гл. 5.

ПРИМЕР 12.5. Инвестиции к началу срока отдачи составили 4 млрд руб. Доход ожидается на уровне 0,7 млрд руб в год, по­ступления — в течение 10 лет.

Если полагать, что поступления происходят равномерно в пре­делах года (их можно приурочить к серединам соответствующих лет), то коэффициент приведения ренты можно записать следую­щим образом:

a10,,<i+J)05 =-5^ = 5,7143,

что соответствует J = 13,1 %.

В свою очередь, если поток доходов непрерывен и постоя­нен, то внутренняя норма доходности, назовем ее непрерывной внутренней нормой и обозначим <7', находится на основе коэф­фициента приведения непрерывной ренты:

_ К 1 - ё-°'я
а«*' R С

На величину внутренней нормы доходности влияют те же факторы, что и на чистый приведенный доход, а именно, раз­меры инвестиционных расходов и доходов и специфика их рас­пределений во времени. Однако влияние здесь обратное — все, что увеличивает N, сокращает значение У.

При использовании внутренней нормы доходности в качест­ве ориентира для выбора и принятии инвестиционного реше­ния следует иметь в виду, что:

— данный параметр эффективности не учитывает масштабов проекта,

— существует возможность (правда, редкая) в некоторых си­туациях получить неоднозначные оценки эффективности, а иногда они вовсе отсутствуют,

— при отсутствии опыта расчета или необходимых программ получение соответствующих оценок может быть связано с некоторыми затруднениями.

Здесь уместно привести два дополнительных замечания, за­трагивающих как внутреннюю норму доходности, так и чистый

272

приведенный доход. Так, если инвестиционный проект охваты­вает ряд самостоятельных объектов, каждый из которых харак­теризуется определенными капитальными затратами и отдачами от них, то для этих составных частей можно определить част­ные показатели чистого приведенного дохода. Чистый приве­денный доход проекта в целом равен сумме частных показате­лей. Этого нельзя сказать о внутренней норме доходности.

Потребность в применении того или другого показателя свя­зана с различием в их содержании. Если речь идет о максими­зации массы дохода, то резонно выбор проекта основывать на чистом приведенном доходе (такой выбор, разумеется, не обес­печивает наиболее эффективное использование затраченных средств). При стремлении максимизировать относительную от­дачу ориентируются на внутреннюю норму доходности.

§12.5. Срок окупаемости

Срок окупаемости, как уже отмечено выше, определяется в двух вариантах — на основе дисконтированных членов потока платежей и без дисконтирования. Обозначим первый как яок, второй как т. Величина пок характеризует число лет, которое необходимо для того, чтобы сумма дисконтированных на мо­мент окончания инвестиций чистых доходов была равна разме­ру инвестиций (барьерная точка для срока). Иначе говоря, это расчетное время, необходимое для полной компенсации инве­стиций поступающими доходами с дисконтированием обоих потоков по ставке приведения. Второй показатель в общем смысле аналогичен первому, но время получения доходов не учитывается и доходы не дисконтируются.

В предельно простом случае срок окупаемости т определя­ется как отношение суммы инвестиций к средней ожидаемой величине поступаемых доходов:

К т = ~

Такой расчет, очевидно, имеет смысл при относительно не­значительных колебаниях годовых доходов относительно сред­ней. В финансовом отношении более обоснованным является дисконтный срок окупаемости мок.

Пусть размеры капитальных вложений к концу срока инве­стирования составляют величину К. Доходы поступают в виде

273

нерегулярного потока платежей Rr Необходимо найти такой срок, при котором будет выполнено равенство

£/?/ - К. (12.13)

/-I

ПРИМЕР 12.6. Найдем сроки окупаемости (величины т и лок) для потока платежей примера 12.1 (вариант Л). Напомним, что поток состоит из следующих членов: -100; -150; 50; 150; 200; 200. Об­щая сумма капитальных вложений равна 250. Суммируем доходы за первые два и часть третьего года и приравняем полученную сумму к размеру инвестиций:

50+ 150 + 200х = 250,

где х — доля годового дохода.

Отсюда х = 50 : 200 = 0,25 и т = 2 + 0,25 = 2,25. Для вари­анта Б того же примера получим т = 3,5 года.

Для определения дисконтного срока окупаемости установим размер ставки приведения: / = 10%. Сумма капиталовложений с наращенными процентами к концу второго года равна 260. Сов­ременная стоимость поступлений за первые два года, рассчитан­ная на момент начала отдачи, составит 169,4 для варианта А, т. е. меньше 260, а за три года поступлений — 319,7, т. е. больше этой суммы. Отсюда срок окупаемости примерно равен

л^ = 2 + (260 - 169,4) : (200 х 1,1"3) = 2,6 года после завер­шения инвестиций. Для варианта Б находим п - 4.

Остановимся на ситуации, когда капиталовложения заданы одной суммой, а поток доходов постоянен и дискретен (посто­янная ограниченная рента). Тогда из условия полной окупаемо­сти за срок пок при заданной процентной ставке / и ежегодных поступлений постнумерандо следует:

l-fw/p

К -Л—1 1 .

/

Отсюда

1п(1 + /)

(12.14)

274

ПРИМЕР 12.7. Определим дисконтный срок окупаемости для данных примера 12.5 при условии, что поступления дохода про­исходят: 1) равномерно в пределах года, 2) раз в конце года. Ди­сконтирование осуществим по ставке 10%.

1. Припишем суммы годовых доходов к серединам годовых ин­тервалов. После чего применим формулу (12.14) с небольшим уточнением, вызванным тем, что выплаты производятся не в кон­це каждого года, а в середине:

-|п(1 - я(ТТ»Г/)

п°* ~ 1п(1 + I)

-,п(1 -^п^Н

2. По (12.14) находим: пок = 8,89 года.

Для сравнения заметим, что без учета времени поступления доходов срок окупаемости составит всего т = 5,71 года.

Заметим, что дисконтный срок окупаемости существует, ес­ли не нарушаются определенные соотношения между доходами и размером инвестиций, а именно: если постоянные доходы по­ступают ежегодно, то R > НС. Это вытекает из формулы (12.14). Можно получить аналогичные по содержанию соотношения и для других видов регулярных потоков дохода. Так, при поступ­лении доходов в виде /ьсрочной ренты соотношение имеет вид R > р[(\ + i)Vp — 1]AT; аналогично при непрерывном поступле­нии доходов R > 1п(1 + i)K или R > 6К.