Финансовая математика (стр. 69 )

d2 -0,0517-0,3>/0J5 - -0,208.

По таблице плотности нормального распределения находим:

Л/(0,05) = 0,5199,

Л/(-0,2) = 0,4207. Таким образом,

с = 100 х 0,5199 - 110 х е"0'1 * °«75 х 0,4207 = 9,06.

При сравнении формул (15.2) и (15.1) легко заметить, что в обеих формулах определяется разность величин S и Е. Однако, в (15.2) эти величины подвергаются взвешиванию, в качестве весов выступают вероятности. Причем N(d2) можно трактовать как вероятность исполнения опциона на момент истечения срока.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  , Александер ГДж,. БейлиДж. В. Инвестиции. Пер. с англ. М: Ин-фра-М, 1997. Гл. 20.

2.  Браун СДж., Кришмен ММ. и др. Количественные методы финансового ана­лиза. Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1996. Гл. 5.

3.  Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. Пер. с англ. М: Статистика, 1980.

Глава 16 СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ

§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании

В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения методов количественного анализа явля­ются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инве­стиционных проектов возникает необходимость в использова­нии условных рент (contingent annuity), в которых важную роль играют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с та­кими рентами, причем для конкретности ограничимся страхо­ванием. Выплата члена ренты в страховании зависит от насту­пления страхового события. Назовем такие ренты страховыми аннуитетами. Заранее число платежей в страховых аннуитетах, а часто и их срок, остаются неизвестными.

Согласно договору страхования страхователь уплачивает впе­ред страховщику некоторую сумму — премию {premium). В свою очередь он (или иной выгодоприобретатель) имеет право полу­чить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления этого события q заранее извест­на (на основании прошлого опыта, по аналогии и т. д.), то тео­ретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фак­тора времени), премия Р определяется как

P=Sq.

Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип финан­совой эквивалентности обязательств страхователя и страховщи­ка. Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип при расчете страховой нетто-премии, под которой понимается тео­ретическая цена страхования.

331

На практике премия, которая поступает страховой организа­ции, обычно превышает величину нетто-премии, так как вклю­чает помимо нетто-премии и так называемую нагрузку (loading), последняя охватывает все расходы по ведению дела и некото­рую прибыль страховой организации. Определение брутто-пре-мии (нетто-премия плюс нагрузка) является чисто арифметиче­ской задачей, поэтому далее речь пойдет только о нетто-пре­мии.

Пусть Р — размер премии, qn — вероятность страхового со­бытия (например, смерть застрахованного через п лет после на­чала страхования). Если страховое событие произойдет на пер­вом году страхования, то страховщик получит сумму Р (пусть премия выплачивается в начале года), если же это событие на­ступит во втором году, то сумма премий равна 2Р и т. д. Мате­матическое ожидание такого ряда премий составит:

Pq{ + 2Pq2 + ... + nPqn.

Полученная величина хотя и обобщает все взносы застрахо­ванного с учетом вероятностей их выплат, однако при сумми­ровании соответствующих величин не принимается во внима­ние, что премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (с помощью дисконтирования сумм пла­тежей) находим математическое ожидание современной стои­мости (актуарная стоимость) взносов:

Е(А) = P[qx + (1 + v)q2 + (1 + v + v2)^ + ... +

+ (1 + v + ... + v"-Xb

где v — дисконтный множитель по ставке /.

Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sqv во втором году Sq2 и т. д. Математи­ческое ожидание с учетом фактора времени (актуарная стои­мость) выплат, очевидно, можно определить как

E(S) = S(vqx + v2^ + ... + V^).

Исходя из принципа эквивалентности обязательств страхов­щика и страхователя, теперь можно написать равенство

332

E(S) = E(A),

которое позволяет найти искомое значение нетто-премии Р. Та­ков в общем виде теоретический подход к методу расчета нет­то-премии, принятый в личном страховании.

Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то актуарная стоимость премий за п лет составит

Е(А) = P[q + (1 + v)q + ... + (1 + v + ... + V^x)q] = PqK,

где К -ai+]?(ai-/)v'.

В свою очередь актуарная стоимость выплат страховых сумм находится как

£(5)-512*

Из равенства актуарных стоимостей взносов и выплат нахо­дим искомый размер нетто-премии.

В практике страховых, или как их часто называют, актуар­ных расчетов разработаны специальные приемы формирования упомянутых выше потоков платежей (страховых аннуитетов) и расчета их актуарных стоимостей.

До обсуждения проблем формирования страховых аннуите­тов, связанных с жизнью людей {life annuity) и их использова­ния для расчетов премий и страховых резервов необходимо оз­накомиться с методикой определения необходимых вероятно­стей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых су­щественно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.

§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности

Таблицы смертности. Для осуществления актуарных расчетов, в том числе расчетов стоимостей страховых аннуитетов, необ­ходимы исходные данные, характеризующие совокупность за­страхованных по полу и возрасту, а также система нормативных демографических показателей, отражающих статистические за-

ззз

кономерности дожития до того или иного возраста. Последние содержатся в таблицах смертности (mortality tables).

Таблица смертности представляет собой числовую модель про­цесса вымирания по возрастам некоторой абстрактной совокуп­ности людей. Такая таблица показывает, как последовательно с увеличением возраста уменьшается эта совокупность, достигая нуля сразу после предельного возраста со. Она является обобще­нием данных демографической статистики за некоторый пери­од времени.

В России таблицы смертности разрабатываются статистиче­скими органами для страны в целом, а также для крупных эконо­мических районов и областей, как для всего, так и отдельно для городского и сельского населения раздельно для каждого пола1.

Прежде чем приступить к описанию таблицы смертности и актуарных методов анализа необходимо сказать несколько слов о применяемых в актуарных расчетах обозначениях. Актуарная символика в личном страховании сложна, своеобразна и с этим приходится мириться, так как обозначения унифицированы на международном уровне. Одна из отличительных особенностей этой символики — множество нижних и верхних индексов, ко­торые приписываются как справа, так и слева от основной пе­ременной. Например, л, je^i и т. д.

Основной показатель таблицы смертности — число людей 1Х в возрасте ровно х лет, оставшихся в живых из первоначальной совокупности /0, обычно равной 100 тыс. человек. Заметим, что и начальный возраст и первоначальное количество людей в таб­лице могут быть любыми — выбор того или иного начального возраста не влияет на результаты актуарных расчетов. Для акту­арных расчетов применяют полные таблицы смертности, в ко­торых возраст показан с интервалом в 1 год.

Величины 1Х (кроме /0) определяются расчетным путем на ос­нове заданных вероятностей смерти (qx), или, что реже, коли­чества умерших (dx). В современных таблицах смертности ис­ходным показателем обычно служит вероятность смерти, т. е до­ля умерших в возрасте от х до jc -I - 1 лет из числа доживших до возраста х лет. Указанные вероятности получают на основе дан­ных статистики населения с последующим их усреднением и сглаживанием.

1 Подробные методики разработки таблиц смертности, включая приемы вы­равнивания данных, рассматриваются в курсах демографии. Некоторые перво­начальные сведения по данной проблеме можно получить в "Статистическом словаре". М.: Финансы и статистика, 1989.

334

Помимо показателей 1Х таблица смертности содержит число умерших за год в каждой возрастной группе (dx). Никакие иные факторы выбытия, кроме повозрастных вероятностей умереть, при разработке таблицы во внимание не принимаются.