Финансовая математика (стр. 38 )

В итоге получим интересное соотношение

d - d
А = d+—----- Lo. (8.11)

У °х

Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при ро­сте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.

§8.3. Минимизация дисперсии дохода

Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инве­стиций и риска еще в одном аспекте, а именно, — определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, сле­довательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вер­немся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысле структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что порт­фель, как и выше, состоит из двух видов бумаг Хи К Их доли в портфеле составляют ах и 1— а# а дисперсии Dx и Dy. Общая дисперсия определяется по формуле (8.5). Поскольку эта функ­ция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда

Формулу (8.12) обычно приводят в аналитической финансо­вой литературе. Однако, для того, чтобы ею можно было вос­пользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-види­мому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем отношение дисперсий:

Dx/y=Dx/Dy. (8.13)

178

Разделим теперь числитель и знаменана Dy, полу­чим

ъ-тттт- (814)

х/у

При наличии корреляции между показателями доходов обра­тимся к (8.6). Минимум этой функции имеет место в случае, когда

D — г о о

°х D +D -2г оо9 ( }

х у *'ху х у

или, использовав отношение дисперсий (8.13), получим

l-rxyjDx/y ,й -,.

ах------------------- "-------- т—. (8.16)

&х/у + * " 2гхуу&х/у

Как видно из приведенных формул, расчетная величина до­ли одной из бумаг может при некоторых условиях оказаться от­рицательной. Отсюда следует, что этот вид бумаги просто не должен включаться в портфель.

ПРИМЕР 8.2. Вернемся к данным примера 8.1 и определим стру­ктуру портфеля с минимальной дисперсией. Напомним, что ох = 0,8; оу= 1,1.

При полной положительной корреляции расчетные значения доли первой бумаги составят по формуле (8.15)

1,12-1 х 0,8x1,1 *х 0,82+ 1,12-2х 1 х0,8х 1,1

Соответственно, ау < 0. Следовательно, минимальная диспер­сия имеет место в случае, когда портфель состоит из одной бу­маги вида X. Средний доход от портфеля равен 2.

При полной отрицательной корреляции находим

1,1» - (-1)0,8 ж 1,1 лс„

д — , = Л k7Q

х 0,82 - 1,12 - 2(-1)0,8 х 1,1 * * ау= 1 -0,579 = 0,421.

Дисперсия в этом случае равна нулю (см. рис. 8.4), а средний доход составит 2,421.

179

Наконец, при отсутствии корреляции получим по формуле (8.12) ах = 0,654; ау = 1 - 0,654 = 0,346. Дисперсия дохода при такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход равен 2,346.

Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг X, Y, Z. Их доли ах, ау и az = 1 - (ах + а). Дисперсия дохода от порт­феля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит

D = a2 DL + a2 D + [1 - (ах + av)]2D7.

х х у У 1 х У Z

Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:

А

У/1

a* = - D~D.

'x/z "y/z + Dx/z + Dy/z

X/Z

аУ D , D , + D , + D ,

x/z y/z x/z "y/z

He будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей поста­новке задачи и определим структуру портфеля с л составляю­щими. Допустим, что доходы статистически независимы. Опус­тим доказательства1 и приведем результат в матричном виде:

А = £Г'е,

(8.17)

где е — единичный вектор, характеризующий структуру порт­феля,

1

+ 1

D2

+ 1

I 1

*»-!

4.-1

D„

180

Доказательства приведены в Математическом приложении к главе.

А -— вектор, характеризующий п — 1 элементов структуры порт­феля.

Матрица D имеет размерность (л — 1) х (л — 1).

ПРИМЕР 8.3. Эксперты оценили следующие отношения диспер­сий для портфеля, состоящего из четырех видов бумаг: D1/4 = 1,5; D2/4 = 2; D3/4 =1. По формуле (8.17) получим

[2,5 1 11	-1	[0,210]
1 3 1	хв-	0,158
| 1 12		0,316

3 а4-1-Ёа/"1-0'684"0'316-

Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дис­персию дохода, с п составляющими при наличии корреляции определить так же просто, как это было сделано выше, нель­зя. Однако решение существует, хотя его получение достаточ­но хлопотное дело, да и вряд ли оно необходимо для практики.

Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим является ма­ксимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, вы­ходящего за рамки настоящего учебника. Поэтому ограничим­ся лишь замечанием о том, что метод Г. Марковица, который заключается в разработке и решении специальной модели не­линейного программирования с использованием показателей доходов и дисперсий, в теоретическом плане не вызывает воз­ражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные подводные камни. За­тронем лишь одну проблему — какой срок для расчета диспер­сий следует принять во внимание? Если ограничиться неболь­шим сроком, то получим наиболее приближенные к современ­ности данные. Однако они могут оказаться неустойчивыми, со­держать много "шума", с другой стороны, стремление охватить максимальный срок неизбежно приведет к устареванию дан­ных.

181

Математическое приложение к главе

Минимум дисперсии дохода при отсутствии корреляции. Дисперсия в этом случае определяется выражением (8.2), ко-

торое для п долей запишем как

я-1

О)

Я- 2*,24* 1-2*/ i \ \ I

В свою очередь

где

(■-'|*i) -l-22*;+(2*/)2,

/я-1 \2 я-1 л-1 я-1

Окончательно имеем

2

/ /1-1 \ Я-1 Я-1 Я-1