Финансовая математика (стр. 31 )

А = 2002,946 х 1.23 = 3461,091 тыс. руб. По формуле (6.35) получим

п =-

, ,4 3461,091 ЛМ

-,n(1 ~l^o-°-2)

In 1,2

= 3,395 года.

Округляем ответ до 3 или 4 лет и компенсируем нехватку по­крытия долга или излишки (см. пояснения в § 5.4.) при определе­нии срока ренты.

Рассмотрим один частный случай. Пусть член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент: R = Z А?^. Все рен­ты годовые, постнумерандо. Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то в силу (6.32) получим

i-(u/)-" sif'-M""]

/J------ .------ ш------------- .---------- L?

142

где п — срок заменяющей ренты. После преобразований находим

1пЛ-1пУ Л(l+ i)""f

ПРИМЕР 6.12. Консолидируются ренты, предусматривающие го­довые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб.; сроки этих рент 10, 15 и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты 5% годовых. Если выплаты определены в размере R = 5 тыс. руб., то

 

In 5 П~ In 1,05

In (0,5 х 1.05-10 + 1,5 х 1,05"15 + 3 х 1,05'12) In 1,05

= 12,64 года.

Рассмотренные варианты объединения рент, естественно, не охватывают все возможные случаи, с которыми можно столк­нуться на практике. Да в этом и нет необходимости. Отправля­ясь от равенства современных стоимостей консолидируемых и заменяющей рент, легко вывести соответствующую формулу для решения конкретной задачи.

§6.6. Изменение параметров рент

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу озна­чает замену одной ренты другой. Как уже отмечалось выше, та­кая замена должна базироваться на принципе финансовой эк­вивалентности. Из этого следует равенство современных стои­мостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она мо­жет быть сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока может потребовать некоторого ее увеличе­ния. Отправляясь от указанного равенства, нетрудно опреде­лить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется не­медленная рента постнумерандо с параметрами Л,, п{9 процент­ная ставка равна /. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с

143

параметрами Rv я2, t (t не входит в срок ренты). Здесь возмож­ны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется Л2, и наобо­рот. Рассмотрим первую задачу при условии, что п2 = л, = я. Для этого случая справедливо следующее равенство:

Откуда

Л2=Л|(1+/У. (6.37)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за вре­мя t члену заменяемой ренты.

В общем случае, когда п2* я,, из равенства Ах = А2 следует

R2 . ^^-(l+i)', (6.38)

an2\i

где / — продолжительность отсрочки.

ПРИМЕР 6.13. Пусть немедленная рента постнумерандо с усло­виями Я1 = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых. Согласно (6.37) получим

Я2 = 2 х 1,22 = 2,88 млн руб.

Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увели­чивает ежегодные выплаты на 0,88 млн руб. Если же одновремен­но со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, скажем, до 11 лет вместо 8 (л = 11), то по формуле (6.38) находим

*2 = ^Т^ х 1'22 = 2 х!'!от^ х 1'22 = 2'55393 млн РУ6'

а11;20 4,32706

Определим теперь срок новой ренты при условии, что раз­мер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на / лет. Тогда из равенства

Я**,;/ - Кап2-У находим 144

-In{l -[!-(!+ /Г1(1 + т (, ,оч

"2=-------------- щПЦ-------------- ■ (639)

ПРИМЕР 6.14. Рента с условиями Я = 2 млн руб., п = 5 лет, / = 8% откладывается на три года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (6.39) получим

-1п[1 -(1 - 1,08-5)1,083]

п0 =------------- ■------ ■---- ——- = 6,689 года.

2 In 1,08 ' д

Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обой­дется в 1,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжитель­ность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Современ­ная стоимость такой ренты с учетом отсрочки равна

А2 = Rassv3 = 2000 х 4,6288 х 1.08"3 = 7339,58 тыс. руб.

Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 7985,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уп­латить в начале действия контракта или с соответствующим нара­щением в любой иной момент.

Замена годовой ренты на /^-срочную. Пусть годовая немедлен­ная рента с параметрами Л,, п{ заменяется на р-срочную с па­раметрами R2, n2, р. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

*2-*i%. (6.40)

а(Р)

Причем, если п2 = п{ = я, то

«*/ />[(!+О'/'-1]

*«

Откуда

R2 - Л,—------ J------ Ц (6.41)

ПРИМЕР 6.15. Пусть Я1 = 2, п1 = п2 = п. Если годовая рента по-стнумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неиз-

145

менности срока ренты эквивалентность замены достигается толь­ко за счет корректировки размера выплат. При условии, что / = = 20%, находим

4(1 21/4 - 1)
Я2 = 2 х '02--------- L = 1,86541.

Продолжим пример. Пусть теперь п1 = 3, а п2 = 4 года. Соглас­но (6.40) получим

аз;20 2,10648

Я2 = 2^=2Х^^=1,51791'

Замена годовой ренты на р-срочную может быть осуществле­на и при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В общем случае для этого сначала нахо­дим

"*# R, R, "i;i"

>),. Л -£*,:, (6-42)

2 К2

Далее по формуле (5.31) определим п2.

Общий случай конверсии. Выше методы эквивалентной заме­ны рент рассматривались применительно к постоянным дис­кретным рентам. Однако переход от одного вида к другому воз­можен для любых потоков платежей. В каждом случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих со­временных стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим, например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей Rn выплачиваемых спустя nt лет после на­чала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, п . Исходное уравнение эквивалентно­сти имеет вид

Данное равенство дает возможность определить один из па­раметров ренты: R или п. Решение обратной задачи — опреде­ление членов нерегулярного потока платежей — достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих этому равенству.

146

Математическое приложение к главе

1. Доказательство формулы (6.1)

Имеется ряд платежей: R, R + a, R + 2а, ..., R + (п - 1)я. Определим современную стоимость данного потока плате­жей.

А = Rv + (R + <z)v2 + ... + [Л + (л - l)a]vn. (1)