Финансовая математика (стр. 41 )

К= D^g* Л, = const.

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более ред­ким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.

Задан срок погашения. Первый этап разработки плана пога­шения — определение размера срочной уплаты. Далее получен-

191

ная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы У равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к со­временной величине этой ренты, находим

D
У=—> (9.8)

где а„.а — коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком я.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины К и данных финансового конт­ракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По оп­ределению

</, = К" Dg.

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во вре­мени:

rf,»rfM(l+*), (9.9)

В связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд dv dx{\ +g), ..., dx(\ +£)"-'.

По этим данным легко определить сумму погашенной задол­женности на конец года / после очередной выплаты:

Wt-'id^l + gf -d{st;g, (9.10)

где stg — коэффициент наращения постоянной ренты постну-мерандо.

ПРИМЕР 9.6. Условия погашения займа те же, что и в примере 9.5. Однако погашение производится равными срочными уплата­ми, т.е. рентой постнумерандо с параметрами: У (неизвестная ве­личина), п = 5, д = 10%.

Находим: а5;10 = 3,790787. После чего

1000 Y = V^^T = 263,797 тыс. руб. 3,79079

192

Далее определим

d, = 263,797 - 1000 х 0,1 = 163,797 тыс. руб. и остаток долга после первого погашения

D1 = 1000 - 163,797 = 836,203 тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице.

Гад	Остаток долга	Расходы	Проценты	Погашение
	на начало года	по займу		долга
1	1000,000	263,797	100,000	163,797
2	836,203	263,797	83,620	80,177
3	656,026	263,797	65,603	198,195
4	457,831	263,797	45,783	218,014
5	239,816	263,797	23,982	239,816

Процентные платежи уменьшаются во времени, а суммы пога­шения основного долга систематически увеличиваются.

Продолжим пример. Допустим, необходимо найти сумму пога­шенного долга на конец третьего года погашения при условии, что план погашения не разработан. Для решения воспользуемся формулой (9.10). Находим s3;10 = 3,31, сумма первого платежа определена выше — cf1 = 163,794, таким образом,

W3 = 163,794 х 3,31 = 542,169 тыс. руб.

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.

Заданы расходы по обслуживанию долга. Такая постановка за­дачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погаше­ния долга и достижении полной сбалансированности платежей.

Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Эта проблема подробно обсуждалась в § 5.4 (см. формулы (5.28)— (5.37)), поэтому не будем останавливаться на ней. Ограничим­ся лишь одной иллюстрацией. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим (5.29), где символ R за­менен на К, а / — на g:

я =■

1п(1 + g)

(9.11)

193

Очевидно, что решение существует тогда, когда Dg/Y< 1. Ра­счетное значение п в общем случае оказывается дробным.

ПРИМЕР 9.7. Долг равен 1000 тыс. руб. и выдан под 10% годо­вых. Для его погашения предполагается выделять сумму порядка 200 тыс. руб. в год. Оценим величину срока, необходимого для погашения задолженности;

-In

200

n= i^n =7'27r<*a-

Округлим расчетный срок до 7 лет. Для того чтобы полностью рассчитаться, необходимо несколько повысить срочные уплаты, а именно:

v 1000 1000 ОЛС„ле

V = —------ = -ГТ7777Г = 205,405 тыс. руб.

a7,io 4,868418

Альтернативой является адекватная компенсация недостающе­го покрытия долга при выплате ренты с членом 200 тыс. руб. и сроком 7 лет.

Переменные расходы по займу. Далеко не всегда оказывается удобным условие Y = const. Например, погашение долга может быть связано с поступлением средств из каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. Срочные уплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее (график погашения), либо следуют какому-либо формальному закону (прогрессии, заданной функции). Остановимся только на одном варианте — изменении расходов по геометрической прогрессии.

Итак, пусть ряд срочных уплат представляет собой геометри­ческую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно за­писать в виде членов переменной ренты К, Yq, Yep-, ..., Yq"~l. Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первона­чального долга, находим;

Q - (1 + я)
Y= D ; \ *} , (9.12)

- 1

где q — заданный годовой темп роста платежей, g — процент­ная ставка по займу.

Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается деталь­ный план погашения.

194

ПРИМЕР 9.8. Пусть расходы по займу (сумма долга — 1000 тыс. руб.) уменьшаются каждый год на 10%; общий срок по­гашения 5 лет, ставка процента по долгу — 6% годовых. По усло­виям задачи: D0 = 1000, п = 5, д = 0,06, q = 0,9. Согласно (9.12) первая срочная уплата составит:

0,9 - 1,06
Y. = 1000—-------- ■--- = 286,353 тыс. руб.

(0,9 V» 11,06 J

Процентные платежи в первом периоде 1000 х 0,06 = = 60 тыс. руб., соответственно, сумма погашения долга равна 286,353 - 60 = 226,353 тыс. руб., остаток задолженности на на­чало второго года 1000 - 226,353 = 773,647 тыс. руб. Срочные уп­латы находятся как Yt x 0,9м. План погашения долга представлен в таблице.

Год	Остаток долга	Расходы	Проценты	Погашение
	на начало года	по займу		долга
1	1000,000	286,353	60,000	226,353
2	773,647	257,717	46,419	211,298
3	562,349	231,946	33,741	198,205
4	364,144	208,751	21,849	186,902
5	177,241	187,875	10,634	177,241

В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожи­даемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде гра­фика погашения. Размер последней срочной уплаты не задает­ся. Она определяется как сумма остатка долга на начало пос­леднего периода.

ПРИМЕР 9.9. Долг в размере 100 000 руб. решено погасить по специальному графику за четыре года — суммы расходов по по­гашению долга по годам: 40, 20 и 30 тыс. руб. Остаток выплачи­вается в конце четвертого года.