Финансовая математика (стр. 9 )

Р= S- Snd= S(l - nd), (2,12)

где п — срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (1 — nd). Из формулы (2.12) вытекает, что при п > \/d величина дисконтного множи­теля и, следовательно, суммы Р станет отрицательной. Иначе говоря, при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или даже отрицательной сумме Р, что ли­шено смысла. Например, при d = 20% уже пятилетний срок до­статочен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Учет посредством учетной ставки чаще всего осуществляет­ся при временной базе К = 360 дней, число дней ссуды обычно берется точным, АСТ/360.

ПРИМЕР 2.10. Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой 17.11.2000. Владелец векселя учел его в банке 23.09.2000 по учетной ставке 20% (АСТ/360). Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Полученная при учете сум­ма (без уплаты комиссионных) равна

Р = 1000000(1 - -^Цг 0,2) = 969444,4 руб.

Дисконт составит 30555,6 руб.

Дополним условия примера. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов / = 20,5% го­довых. В этом случае, очевидно, надо решить две задачи: опре­делить наращенную сумму долга и сумму, получаемую при учете. Оба последовательных действия можно представить в одной фор­муле

Р" = Р(1 + л/)(1 -n'd),

где п — общий срок обязательства, п' — срок от момента учета до погашения.

Пусть в данном примере п = 120/360, тогда

Р" = 1 000 000(1 + -^=£- 0,205)(1 - -^г 0,2) = 1 035 690 руб. Зои Зои

33

Разумеется, дисконт, как скидка с конечной суммы долга, необязательно определяется через ту или иную процентную ставку, он может быть установлен по соглашению сторон и в виде фиксированной величины для всего срока. Однако, размер ставки неявно всегда имеется ввиду.

Наращение по учетной ставке. Простая учетная ставка иногда применяется и при расчете наращенной суммы. В частности, в этом возникает необходимость при определении суммы, кото­рую надо проставить в векселе, если задана текущая сумма дол­га. Наращенная сумма в этом случае

Множитель наращения здесь равен 1/(1 — nd). Наращение не пропорционально ни сроку, ни ставке. Заметим, что при п> \/d расчет лишен смысла, так как наращенная сумма становится бесконечно большим числом. Такая ситуация не возникает при математическом дисконтировании: при любом сроке современ­ная величина платежа больше нуля.

ПРИМЕР 2.11. По данным примера 2.2 определим наращенную сумму при условии, что проценты начисляются по простой учет­ной ставке d = 18%:

S = 1 000 000-------- —--------- = 1148105,62 руб.

1 -Ц|0,18 360

§2.5. Прямые и обратные задачи

при начислении процентов

и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является опреде­ление наращенной суммы, обратной — дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дискон­тировании, обратная — в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дис­контирования — по ставке наращения / и учетной ставке d — приводят к разным результатам даже тогда, когда / = d.

34

Ставки	Прямая задача	Обратная задача	Формулы
d	S= Р(\ + ni) Р= S(l - nd)	Р =5/(1 + ni) S= PI (I ~nd)	см. (2.1), (2.11) см. (2.12), (2.13)

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении ве­личины ставки. Для иллюстрации сказанного на рис.2.5 и в табл. 2.1 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда / = d = 20%.

ДМ ^	,
1
		/
0,833		^d
0,8		->

Рис. 2.5

Таблица 2.1

Дисконтные множители, i - d » 20%

Вид			Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
/ d	0,9836 0,9833	0,9524 0,9500	0,9091 0,9000	0,8333 0,8000	0,7143 0,6000	0,3333

Рис. 2.6

Сравнивая формулы (2.1) и (2. 13), легко понять, что учет­ная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что / = d = 20%, по­казаны на рис. 2.6 и в табл. 2.2.

35

Таблица 2.2

	Множители	наращения,	/ = d = 20%
Вид	Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
d	1,0167 1,0169	1,0500 1,0526	1,1000 1,1111	1,2000 1,2500	1,4000 1,6667	3 00

Из сказанного выше следует, что выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги опе­рации. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными. Проблема эквивалентности процентных ставок рассматривает­ся в гл. 3.

§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

При разработке условий контрактов или их анализе и срав­нении возникает необходимость в решении ряда, если так мож­но назвать, вторичных задач — определении срока ссуды и раз­мера процентной ставки в том или ином ее виде при всех про­чих заданных условиях.

Срок ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы получим, решив (2.1) и (2.12) от­носительно п.

Срок в годах:

„ S- Р - S/ Р - 1
Pi i

(2.14)

за)

(2.15)

_ S-Р „ 1 -Р/S

Sd d

Срок в днях (напомним, что п = t/K, где К — временная ба-

«- S-P

К

Pi

(2.16)

' Sd К

(2.17)

36

ПРИМЕР 2.12. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (ACT/ACT)? По формуле (2.16) находим