Финансовая математика (стр. 71 )

Dx=lxv*, (16.8)

AT,- f Лу> (16.9)

J-x

где v — дисконтный множитель по сложной ставке /, о> — пре­дельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

339

По определению

NM = Д..

В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы комму­тационных чисел Dx для заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоватся коммутационными числами Nx:

к /-1

На практике применяются еще два варианта функции Nx, к которым обращаются тогда, когда платехси производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для прак­тических расчетов точностью применим следующее выражение:

N(m)m N + ---- D (16.10)

х х 2т х v '

Для платежей пренумерандо

"(*m)~N*-J! LirD*- <1611)

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются Сх и Мх\

Cx = dxvx+{, (16.12)

Мх - jCy. (16.13)

]-х

Между коммутационными числами обеих групп существуют определенные взаимозависимости:

Сх = ^х = (/- - Wv*h = ixV*v - Jx+{V^ = DxV - Dx+i, Аналогично можно доказать, что

Мх = Nxv - Л^,.

Страховые организации разрабатывают таблицы коммутаци­онных функций с учетом принятых в них норм доходности.

340

Таблица 16.2

Фрагмент таблицы коммутационных чисел1

X	(г	Dx	Л,	-цш-	с.	мх
18	100 000	21 199	244 593	254 309	28,98	1003,6
19	99 851	19 420	223 393	232 294	30,82	974,7
20	99 678	17 786	203 973	212 125	31,98	943,8
30	96 991	7310	80 677	84 027	25,55	648,9
35	94 951	4651	49 910	52 042	20,78	530,3
40	92 327	2940	30 376	31 723	19,09	431,4
50	83 640	1125	10 465	10 981	14,54	260,7
60	68 505	389	3082	3261	10,25	134,7
70	45 654	ПО	684	734	5,72	53,1
80	19 760	20	85	95	2,14	13,0

При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции:

О = / х v(x+y)/2 "ху ху

Величина / определена при расчете прху (см (16.6)).

(16.14)

Функцию (16.14) можно получить на основе коммутацион­ных функций Dx, Dy следующим образом:

Z)^, = DxxDyx v-W2 = Dx x Dy x (1 + 0<^)/2. (16.15)

В свою очередь

'ху+п ху+п

*xv+n * v >

- *U * А** * У-Ь^Й/Я = Л ж Л. х (1 + |)^(^)/2.

Поскольку произведения коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10~3.

1 Подсчитано по таблице смертности населения СССР (см. § 16.2) при ус­ловии, что / = 9%. Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12).

341

ПРИМЕР 16.5. Определим коммутационные числа О50;45 и О55;50 для супружеской пары примера 16.4. Находим:

(х + у) I 2 = (50 + 45) / 2 = 47,5.

Коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9%, имеют следующие значения (первая строка — для муж­чины, вторая — для женщины):

0^= 1124,8; 055 = 673,1;

0^= 1991,9; О50= 1268,8. Отсюда

D50;45 = 10~3 х 1124»8 х 1991'9 х 1.0947-5 = 134 308; D55.50 = Ю"3 х 673,1 х 1268,8 х 1,095+47-5 = 78 770.

По аналогии с функцией Nx найдем:

<а-у

"Ху - 2D*W (1616)

t -О

§16.4. Стоимость страхового аннуитета

Отправным моментом актуарного анализа является опреде­ление стоимости страхового аннуитета. Для записи формул вве­дем следующие обозначения для стоимостей годовых аннуите­тов постнумерандо:

ах — для немедленного пожизненного аннуитета, ax:t, — для немедленного ограниченного аннуитета, пхйх — для отложенного пожизненного аннуитета, п\ахи] ~" ДЛЯ отложенного ограниченного аннуитета.

Аналогичная символика применяется и для аннуитетов пре-нумерандо, однако вместо символа а записывается а.

Пусть лицу, начиная с возраста х лет, пожизненно в конце каждого года выплачивается по 1 рублю (аннуитет пожизнен­ный, постнумерандо, немедленный). Тогда

** = />* * v + 2/>* * v2 + • + <*-хРх * v

СО-X а-

342

'*t I * V (r+2 * ^ , + Cxv"

Умножим числитель и знаменатель каждого слагаемого на v*. После чего можно применить коммутационные функции Dx и Nx для расчета немедленного, пожизненного аннуитета постну-мерандо с ежегодными выплатами :

2'«.

xvx*J

/,xv* Dx

Аналогичным образом определим стоимости других видов аннуитета. Так, для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо с ежегодной выплатой по 1 руб. имеем:

ах -l + ^xv + 2/>J(xv2+... + (0.^Jcxvfl,-x -

frt—V

Ш__________ Nx

yx+J
lx X VX Ac

Нетрудно убедиться в том, что

**х = ах + 1 ИЛИ ах+\ * V = ах*

Формулы для расчета различных видов годовых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

ПРИМЕР 16.6. Определим стоимость отложенного на 20 лет, ог­раниченного 5 годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте 30 лет. Находим

Nso " N55 10465,3 - 5826,7

огмЛол ci = ——-- — =---------------------------- = 0,63453.

20|лзо:51 Озо уЗЮ.З v. oowo.

В табл. 16.3 приведены формулы для годовых аннуитетов. Если платежи выплачиваются т раз в году, то в формулах вме­сто Nx следует использовать Nx^m) или N^m\ Приведем формулы для соответствующих аннуитетов при условии т - 12.

343

Формулы для расчета стоимостей а

Вид аннуитета

Постнумерандо

Немедленный пожизненный

я =

х+1

К

Л

(16.17)

AL

Отложенный на п лет пожизненный

Немедленный, ограниченный (выплаты в течение t лет)

Отложенный на п лет, ограниченный (выплаты в течение t лет)