Финансовая математика (стр. 14 )

d = 1

т

В свою очередь

/-m(l-*VT^f).

Эффективная учетная ставка во всех случаях, когда т > 1, меньше номинальной.

ПРИМЕР 3.12. По данным примера 3.11 определим сумму, полу­ченную при поквартальном учете по номинальной учетной ставке 15%, и эффективную учетную ставку. Имеем f = 0,15; т = 4; тп = 20;

56

 

,(,-*5f-

P = 5000 1 - -^— = 2328,0 тыс. руб.

Эффективная учетная ставка составит

-^)'.w

( 0,15^4 d=1- 1--T— = 0.14177, или 14,177%.

Наращение по сложной учетной ставке. Иногда наращенную сумму получают и с помощью сложной учетной ставки. Из фор­мул (3.14) и (3.15) следует:

*-7П^г <3|6>

т

Множитель наращения при использовании сложной ставки d равен (1 - d)~n.

§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения

и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Выше для наращения и дисконтирования использовались ставки is, i,j, ds, d,f. Заметим, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным ре­зультатам. В связи с этим представляет практический интерес сравнение результатов наращения и дисконтирования по раз­личным ставкам. Для этого достаточно сопоставить соответст­вующие множители наращения. Аналогичное можно проделать и с дисконтными множителями. Проблема сопоставления ско­рости роста при наращении по простой и сложной ставкам бы­ла затронута в § 3.2.

Опустив формальные доказательства, запишем сразу необхо­димые соотношения при условии, что размеры ставок одинако­вые. Варианты со ставками у и /рассматривать не будем, так как результат зависит и от значения /и.

57

Множители наращения соотносятся между собой следую­щим образом:

(1+,Г<1+Я/,<-Г^Г<7]-Г^Г при 0 < Ж 1,

1 + /=1 + /;<т

1 - d

при п = 1,

1+Ч<о + о-<7гг^г<—^ "ри«>1.

Как видим, соотношения множителей зависят от сроков на­ращения процентов. Так, для срока, превышающего год, наи­больший рост дает простая учетная ставка, наименьший — ставка простых процентов. В табл. 3.2 приведены значения множителей наращения для разных видов ставок при условии, что их размеры одинаковы — 20%.

Таблица 3.2

Множители наращения	для разных видов ставок (20%)
Срок (в годах)	'.	i	<	d
0,5	1,10	1,0954	1,1111	1,1180
0,8	1,16	1,1570	1,1905	1,1954
1,0	1,20	1,2000	1,2500	1,2500
1,5	1,30	1,3145	1,4286	1,3975
2,0	1,40	1,4400	1,6667	1,5625
3,0	1,60	1,7280	2,5000	1,9531
5,0	2,00	2,4883	00	3,0517
10,0	11,00	6,1917	00	9,3132

Аналогичным образом получим соотношения для дисконт­ных множителей:

(1-4я<1-ч<т^<7Г"Ьг' при0<я<ь l~d=l~d'<TTT3SlT7 прия = 1>

>-Ч<(1-^<тгТо;г<-П^ ПРИЛ>1-

58

Для срока более года наиболее сильно дисконтирование про­является при применении простой ставки процента и в наимень­шей степени — при использовании простой учетной ставки.

§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки

При разработке условий финансовых операций часто стал­киваются с необходимостью решения обратных задач — расче­том продолжительности ссуды или уровня процентной ставки. Для простых процентов эти задачи рассмотрены в гл. 2. Обра­тимся к операциям со сложными ставками и решим уравнения, связывающие Р и S, относительно интересующих нас величин. Полученные формулы приводятся без доказательств, поскольку вывод их элементарен.

Срок ссуды. Приведем формулы расчета п для различных ус­ловий наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке / и по номиналь­ной ставке у на основе формул (3.1) и (3.7) имеем

""togd+O* (ЗЛ8)

\QS(S/P)
п----------- '.---- -Г. (3.19)

т х log 1 + —

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке/получим

ШР/S)
"=log(l-</)' (320)

ШР/S) „„,

т х log

я= ;—. (3.21)

ПРИМЕР 3.13. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн руб. при начислении процентов по сложной

59

ставке 15% раз в году и поквартально? По формулам (3.18) и (3.19) получим следующие сроки:

log(200/75) 7л^о П= Юд1.1Б =7-0178ro«a-

log(200/75) e еел,

п =------- 2—-------------- ^ = 6,6607 года.

4 ж, og 1 + 0^i

Величина процентной ставни. Приведем формулы для расчета ставок /, j, d, /для различных условий наращения процентов и дисконтирования. Они получены при решении уравнений, свя­зывающих S и Р.

При наращении по сложной годовой ставке процентов / и по номинальной ставке j получим

/ - n4s I P - 1, (3.22)

j = m^nyjI7~P-l). (3.23)

При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и /
d « 1 - fjp 1S, (3.24)

/«m(l-*V^7?). (3.25)

ПРИМЕР 3.14. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уро­вень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных про­центов? По формуле (3.23) находим

/.2^6 _1.0,20684.

ПРИМЕР 3.15. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дис­конт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Применим формулу (3.24). По данным задачи P/S=0,7, откуда

d-1-Voj «0,16334

60

§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерыв­ное наращение, т. е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе ин­вестиционных решений, в финансовом проектировании. С по­мощью непрерывных процентов удается учесть сложные зако­номерности процесса наращения, например использовать изме­няющиеся по определенному закону процентные ставки.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста (force of interest). Сила ро­ста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть по­стоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста. Как было показано выше, при дис­кретном начислении процентов т раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

5= Р

w1

т

Чем больше /и, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при т -» » имеем

5= /Mim 1 +-Ч ВАЛ

где е — основание натуральных логарифмов.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискрет­ной, обозначим силу роста как 6. Теперь можно записать

S = РеЬп. (3.26)

Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная :умма равна конечной величине, зависящей от первоначальной :уммы, срока наращения и силы роста. Последняя представля­ет собой номинальную ставку сложных процентов при т -**>

61