Финансовая математика (стр. 36 )

168

устойчивые традиции понимания и измерения риска. Наиболь­шее внимание к измерению риска проявлено в страховании. Объяснять причину такого внимания нет необходимости. Изме­ритель риска, как возможная потеря страховщика, был исполь­зован еще в конце XVIII в. В других направлениях финансовой деятельности под риском также понимается некоторая потеря. Она может быть объективной, т. е. определяться внешними воз­действиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако, часто риск, как возможная потеря, может быть связан с выбором того или иного решения, той или иной линии поведения. Заметим также, что в некоторых областях де­ятельности риск понимается как вероятность наступления не­которого неблагоприятного события. Чем выше эта вероят­ность, тем больше риск. Такое понимание риска оправданно в тех случаях, когда событие может наступить или не наступить (банкротство, крушение и т. д.).

Когда невозможны непосредственные измерения размеров потерь или их вероятностей, риск можно квантифицировать с помощью ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т. д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях.

Естественной реакцией на наличие риска в финансовой де­ятельности является стремление компенсировать его с помо­щью так называемых рисковых премий (risk premium), которые представляют собой различного рода надбавки (к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т. д.), выступающие в виде "платы за риск". Второй путь ослабления влияния риска заключается в управлении риском. Последнее осуществляется на основе различ­ных приемов, например, с помощью заключения форвардных контрактов, покупки валютных или процентных опционов и т. д.

Одним из приемов сокращения риска, применяемым в инве­стиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестиционной суммы меж­ду несколькими объектами. Диверсификация — общепринятое средство сокращения любого вида риска. С увеличением числа элементов набора (портфеля) уменьшается общий размер рис­ка. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление ри­ском получает надежное основание, а последствия диверсифи-

169

кации поддаются анализу с привлечением методов математиче­ской статистики.

В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто из­меряется с помощью таких стандартных статистических харак­теристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания, в данном случае — колебания дохода. Чем они больше, тем выше рассе­яние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, сте­пень риска.

Напомним, что между дисперсией (D) и средним квадрати-ческим отклонением (а) существует следующее соотношение:

а» V/>.

В свою очередь дисперсия относительно выборочной сред­ней (х) находится как

п - 1

где п — количество наблюдений, х — средняя случайной пере­менной х.

-2а - а х +а +2а

Рис. 8.1 170

Как известно, среднее квадратическое отклонение имеет то неоспоримое достоинство, что при близости наблюдаемого рас­пределения (например, распределении дохода от инвестиций) к нормальному, что, строго говоря, должно быть статистически проверено, этот параметр может быть использован для опреде­ления границ, в которых с заданной вероятностью следует ожи­дать значение случайной переменной. Так, например, с вероят­ностью 68% можно утверждать, что значение случайной пере­менной х (в нашем случае доход) находится в границах х ± a, a с вероятностью 95% — в пределах х ± 2а и т. д. Сказанное ил­люстрируется на рис. 8.1

§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода

Определим теперь что дает диверсификация для уменьшения риска и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель цен­ных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объ­ясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяж­ки можно распространить и на производственные инвестиции.

В предыдущем параграфе отмечалось, что в качестве измери­теля риска в долгосрочных финансовых операциях широко рас­пространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Ди­версификация портфеля при правильном ее применении при­водит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Ес­ли каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией до­хода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно ме­нять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.

Итак, пусть имеется портфель из п видов ценных бумаг. До­ход от одной бумаги вида / составляет величину dr Суммарный доход (А), очевидно, равен

A = 2a. di9 (8.1)

где ai — количество бумаг вида /.

Если di представляет собой средний доход от бумаги вида /, то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом.

Для начала положим, что показатели доходов различных ви­дов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохо­да портфеля (обозначим ее как D) в этом случае находится как

Я-£*?А. (8.2)

/-1

171

где D. — дисперсия дохода от бумаги вида /, п — количество видов ценных бумаг.

Для упрощения, которое нисколько не повлияет на резуль­таты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного из­мерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь а. характеризует долю в портфеле бумаги вида /, т. е. О < а. < 1, 21а. = 1.

Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следу­ющим образом:

D " % atDi + 2 2 aiaJrU°i°J>

(8.3)

где Df — дисперсия дохода от бумаги вида /, rfJ — коэффициент корреляции дохода от бумаг вида / и у, ау ис^.- среднее квад-ратическое отклонение дохода у бумаг вида / и у.

Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у, как известно, определяется по формуле1

г*у =

%(х-х)(у - у)

пахоу

(8.4)

где х, у — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).

Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула:

пУ*у-У*Уу

'ху

2*ЧХ*Пк>Ч5>)

Поскольку коэффициент корреляции может быть как поло­жительной, так и отрицательной величиной, то, как это выте­кает из (8.3), при положительной корреляции дисперсия суммарно-

1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:

— коэффициент не имеет размерности, следовательно, он сопоставим для разных рядов данных;

— величина гху лежит в пределах от -1 до +1. Значение гху = +1 говорит о том, что между переменными существует полная положительная корреляция, т. е. наблюдается функциональная линейная зависимость — с увеличением х ли­нейно растет у. При гху = -1 наблюдается отрицательная линейная зависимость.

172

го дохода увеличивается, при отрицательной она сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положи­тельные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашают­ся отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что уве­личивает общую дисперсию и риск.

Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсифика­ции на размер риска. Под масштабом диверсификации здесь бу­дем понимать количество объектов, выбранных для инвестиции (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному при­меру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода (о^). Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также оди­наковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что пока­затели доходности у отдельных видов бумаг статистически не­зависимы, т. е. применима формула (8.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим

п °'

где п — количество видов ценных бумаг.