Финансовая математика (стр. 16 )

Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в гл. 3 при определении эффективной ставки процента: сложная годо­вая ставка / эквивалентна ставке j при начислении процентов т раз в году. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности ставок более полно и систематизированно. В принципе соот­ношение эквивалентности можно найти для любой пары раз­личного вида ставок — простых и сложных, дискретных и не­прерывных.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Приведем простой пример. Определим соотношение эквива­лентности между простой и сложной ставками. Для этого при­равняем друг к другу соответствующие множители наращения:

(1 + nis) = (1 + /)",

где /5 и / — ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и нара­щенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (см. рис. 4.1).

68

Сумма А

Срок

Рис. 4.1

Решение приведенного выше равенства дает следующие со­отношения эквивалентности:

_ (1 + 0я

1,

(4.6)

/ - \1 + л/ - 1-

(4.7)

Аналогичным образом определим и другие, приведенные ни­же, соотношения эквивалентности ставок.

Эквивалентность простых процентных ставок. При выводе ис­комых соотношений между ставкой процента и учетной ставкой следует иметь в виду, что при применении этих ставок исполь­зуется временная база К= 360 или К= 365 дней. Если времен­ные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множи­телей наращения следует:

'* \-nd:

(4.8)

d' 1+w/

(4.9)

где п — срок в годах, /s — ставка простых процентов, ds — про­стая учетная ставка.

ПРИМЕР 4.3. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15%. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки? По (4.8) находим

0,15

's 1-0,15

= 0,17647, или 17,647%.

69

Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647%.

Следует обратить внимание на то, что отношения эквива­лентности между простыми ставками is и ds существенно зави­сят от срока операции. Например, для d = 10 % находим следу­ющие размеры эквивалентных ставок:

п (в годах) 0,1 0,5 1 2 5 10

/,(%) 10,1 10,5 11,1 12,5 20 оо

Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в (4.8) и (4.9) п = t/K (напомним, что / — срок наращения процентов в днях, К — временная база), получим варианты соотношений эквивалентности:

а) временные базы одинаковы и равны 360 дням:

360

'--1бо^' (4|0>

360/

". = 15П^ <4">

б) если при начислении процентов принята база К = 365, а
для учетной ставки К = 360, то

/- 3654 (4.2)

° 360 -td/ ^Л1)

360/

ПРИМЕР 4.4. Необходимо найти величину учетной ставки, экви­валентной годовой процентной ставке 40% (К = 365) при условии, что срок учета равен 255 дням. Находим по формуле (4.13)

360 х 0,4 ЛОЛЛО|Г ЛЛЛо«,п,

d = 365 + 255 х 0,4 = °'30835' ИШ 3°'835%-

70

Эквивалентность простых и сложных ставок. Рассмотрим со­отношения эквивалентности простых ставок is и ds, с одной стороны, и сложных ставок / и у, с другой. Сложную учетную ставку здесь не будем принимать во внимание. Попарно при­равняв друг к другу соответствующие множители наращения, получим набор искомых соотношений.

Эквивалентность is и /. Формулы были получены выше (см. (4.6) и (4.7)).

(4.14) (4.15)

(4.16) (4.17) (4.18) (4.19)

Эквивалентность i uj:

4--а	+ j/m)mn - 1 п
j - m	H/l+ >»",-1).
Эквивалентность ds и /:
4-	1 - (1 + 0я п
/ -	"J\-nds-l.
Эквивалентность ds и j:
„,=±	-(1 +j/m)mn п

j. mrn^\-nds-l).

ПРИМЕР 4.5. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку 18% (К = 365), не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней.

По формуле (4.7) находим эквивалентную сложную ставку:

/•.580/збф + |§2018_1_017153/ или 17,153%.

I ODD

Эквивалентность сложных ставок. Остановимся только на со­отношениях эквивалентности для ставок /, j и d. Имеем

/=(1 +j/ т)т - 1, (4.20)

71

y-mCVuT-l). (4.21)

Эквивалентность i и d:

«"TT7- <4И>

Приведем еще несколько полезных соотношений, которые нетрудно получить на основе приведенных выше формул с уче­том того, что v = (1 + О""1:

d = /v, (4.24)

v = 1 - d, (4.25)

1 - d = Id. (4.26)

Заметим, что в зависимостях (4.22)—(4.26) срок не играет никакой роли.

ПРИМЕР 4.6. При разработке условий контракта стороны дого­ворились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при на­числении процентов ежемесячно, поквартально?

У

12(12Vl24 - 1) - 0,21705; j - 4(Vl24 - 1) - 0,22100.

Эквивалентность сложных дискретных и непрерывных ставок.

Теоретически можно найти соотношение эквивалентности ме­жду силой роста и любой дискретной процентной ставкой. Од­нако в этом, вероятно, нет необходимости. Ограничимся не­сколькими такими соотношениями, необходимость в которых может возникнуть в практических расчетах.

Эквивалентность 6 и i: см. формулы (3.27) и (3.28).

Эквивалентность д uj: из равенства 1 + — = еь следует

\ т)

j= т(еЫт - 1), (4.27)

6 =/их 1п(1 + j/m). (4.28)

72

Эквивалентность б и d: из равенства (1 — d) ' = еь следует
6 = - lrt(l -</), (4.29)

d = 1 - е~ь. (4.30)

ПРИМЕР 4.7. Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%? Находим

6 = 4 х 1п(1 + 0,2) = 0,19516, или 19,516%

Формулы эквивалентности дискретных и непрерывных ста­вок позволяют расширить применение непрерывных процен­тов. Как уже говорилось выше, непрерывные проценты во мно­гих сложных расчетах позволяют существенно упростить вы­кладки. Вместе с тем такие ставки непривычны для практика, поэтому используя формулы эквивалентности, нетрудно пред­ставить полученные результаты в виде общепринятых характе­ристик.

§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей

Финансовая эквивалентность обязательств. На практике не­редко возникают случаи, когда необходимо заменить одно де­нежное обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, объединить несколько платежей в один (кон­солидировать платежи) и т. п. Ясно, что такие изменения не мо­гут быть произвольными. Неизбежно возникает вопрос о прин­ципе, на котором должны базироваться изменения условий контрактов. Таким общепринятым принципом является финан­совая эквивалентность обязательств. Эквивалентными считают­ся такие платежи, которые, будучи "приведенными" к одному моменту времени {focal date), оказываются равными. Приведе­ние осуществляется путем дисконтирования (приведение к бо­лее ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (ес­ли эта дата относится к будущему). Если при изменении усло­вий контракта принцип финансовой эквивалентности не со­блюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, раз­мер которого можно заранее определить.