Финансовая математика (стр. 7 )

S = Р[\ + л,/, + л2/2+-.+*«'«) - W1 + 2 "'Ч' <2-3>

где /, — ставка простых процентов в периоде /, nt — продолжи­тельность периода с постоянной ставкой, п = Z /?,.

ПРИМЕР 2.3. Контракт предусматривает следующий порядок на­числения процентов: первый год — 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим

1 + 2п^ = 1 + 1 х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 +

+ 0,5 х0,19 = 1,43.

Начисление процентов при изменении сумм депозита во време­ни. Принципиально ничего не меняется, если сумма, на кото­рую начисляются проценты, изменяет свою величину во време­ни (размер вклада на сберегательном счете, текущий счет при периодическом его пополнении или снятии денег и т. п.). В этом случае

/ = 2 Л/1/, (2.4)

где Rj — остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств, /?. — срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковско-сберегательном деле обычно применяют следу­ющий способ, основанный на преобразовании (2.4). Для этого измерим интервалы между моментами изменений величины ос­татка на счете в днях, а процентную ставку выразим в процен­тах (а не в десятичных дробях как выше). После чего получим

/- уяп.1ш2*&:*-. (2.5)

у J J loo i к '

24

Как и прежде К означает число дней в году, a tj — срок в днях между последовательными изменениями остатков на счете.

Величину ЛRjt} /100 называют процентным числом (interest number), а делитель — процентным (или постоянным) делителем (interest divisor).

ПРИМЕР 2.4. Движение средств на счете характеризуется следую­щими данными: 05.02 поступило 12 млн руб., 10.07 снято 4 млн руб. и 20.10 поступило 8 млн руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 18% годовых.

Процентный делитель составит 365 : 18 = 20,27778. Расчет суммы процентных чисел приведен в следующей таблице.

Дата	Движение средств	Остаток {Rj)	Срок Ц)	Процентное число
05.02	12	12	155	18,6
10.07	-4	8	102	8,16
20.10	8	16	72	11,52
31.12	—	16	—	—-
Итого				38,28

Сумма процентов за весь срок равна 9Т77я = 1 *®®® млн ру^'

Реинвестирование по простым ставкам. В практике при инве­стировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибега­ют к неоднократному последовательному повторению нараще­ния по простым процентам в пределах заданного общего срока. Фактически это означает реинвестирование средств, полученных на каждом этапе наращения, с помощью постоянной или пере­менной ставок. Наращенная сумма для всего срока составит в этом случае

5= (1 + Vi)0 + *2У-0 + *А)-. <2-б>

где it — размер ставок, по которым производится реинвестиро­вание.

Если промежуточные сроки начисления и ставки не изменя­ются во времени, то вместо (2.6) имеем

5= F\\ + *,)«, где т — количество повторений реинвестирования.

(2.7)

25

ПРИМЕР 2.5. 100 млн руб. положены 1-го марта на месячный де­позит под 20% годовых. Какова наращенная сумма, если опера­ция повторяется 3 раза?

Если начислять точные проценты (365/365), то

q-i па о*

5 = 100(1+Ж0'2И1 + збГ0'2)(1+^°'2) =

= 105,013 млн руб.

Начисление обыкновенных процентов (360/360) при реинве-стированиии дает

30 S = 100(1 + -z~r0,2)3 = 105,084 млн руб.

§ 2.2. Погашение задолженности частями

Контур финансовой операции. Необходимым условием фи­нансовой или кредитной операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансиро­ванности удобно пояснить на графике (см. рис. 2.2). Выдана ссуда на срок Т в размере Р. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два плате­жа Л, и Я2, а в конце срока выплачивается остаток задолженно­сти в сумме R3 (для нас здесь не имеет значения, какая часть этой суммы идет на выплату процентов, а какая — на погаше­ние долга). Очевидно, что на интервале /, задолженность воз­растает (в силу начисления процентов) до величины Р{. В кон­це этого периода выплачивается в счет погашения задолженно­сти сумма Л,. Долг уменьшается до К{ и т. д. Заканчивается опе­рация получением кредитором в окончательный расчет суммы Rv В этот момент задолженность должна быть равна нулю. На­зовем такой график контуром операции (рис. 2.2, б).

Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур. Иначе говоря, последняя выплата полностью покрыва­ет остаток задолженности. В этом случае совокупность плате­жей точно соответствует условиям сделки. Контур операции бу­дет применяться ниже в методических целях при анализе ряда финансовых операций.

Частичные платежи. Краткосрочные обязательства иногда погашаются с помощью ряда промежуточных платежей. В этом

26

р 1	гг. Но h	k
а	1 l	'

Рис. 2.2

случае надо решить вопрос о том, какую сумму надо брать за базу для расчета процентов и каким путем определять остаток задолженности. Существуют два метода решения этой задачи. Первый, который применяется в основном в операциях со сро­ком более года, называют актуарным методом (Actuarial method). Второй метод назван правилом торговца (Merchant's Rule). Он используется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года. Если иное не оговорено, то при начислении про­центов в обоих методах используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней (360/360).

Актуарный метод предполагает последовательное начисле­ние процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму на­численных процентов, то разница (остаток) идет на погашение основной суммы долга. Непогашенным остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т. д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Поступление при­плюсовывается к следующему платежу. Для случая, показанно­го на рис. 2.2, получим следующие расчетные формулы для оп­ределения остатка задолженности (К)

Кх - Р(\ + /,0 - Л,; К2 = *,<! + /20 - RT

(2.8)

Задолженность на конец срока должна быть полностью по­гашена. Таким образом,

К2(\ + /30 - Л, = 0.

27

ПРИМЕР 2.6. Имеется обязательство погасить за 1,5 года (с 12.03.1999 по 12.09.2000 г.) долг в сумме 15 млн руб. Креди­тор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляют­ся по ставке 20% годовых. Частичные поступления характеризу­ются следующими данными (в тыс. руб.):

12.06.1999  г.-500;

12.06.2000  г.-5000; 30.06.2000 г. - 8000; 12.09.2000 г.-?

Решение представим в следующей последовательной записи:

12.03.1999 долг 12.06.1999 долг с процентами поступление

15 000

15 750

-500

(Поскольку поступившая сумма меньше начисленных процен-тов(750), то она присоединяется к следующему поступлению.)

12.06.2000 долг с процентами 18 750

поступления 500+5000 -5 500

Остаток долга 13 250

30.06.2000 долг с процентами 13 382,5

поступление 8000 -8 000

Остаток долга 5 382,5

12.09.2000 долг с процентами 5 597,8

Контур данной операции представлен на рис. 2.3.

15,75_

18,75

5,5 13,3825

V^l 5,5978

12.03.99