Финансовая математика (стр. 28 )

По условиям задачи Я = 15, а = 2, / = 20%, п = 10. Табличные значения коэффициентов а10;20 = 4,192472, Vю = 0,161505.

Применив (6.1), получим

2 10 х 2 х 0,161505 А = (15 + ~у)4,192472 - —--------------- ' = 88,661 млн руб.

Используя взаимозависимость А и S, находим

S = 88,661 х 1,210 = 548,965 млн руб. Или применяя (6.3) и (6.4):

аю20- Ю* 1.2"10 А = 15а10:2о + ' 0>2------------------- 2 = 62,887 + 25,774 =

= 88,661 млн руб.,

s = 15sio;2o + Sl°: о 2----------- 2 = 389«380 + 159,585 =

= 548,965 млн руб.

Влияние динамики платежей здесь очевидно. Например, по­стоянная рента с Я = 15 дает накопление в сумме около 390 млн руб., "вклад" прироста платежей в наращенную сумму составил почти 160 млн руб., или примерно 20%.

Продолжим пример . Пусть теперь рента предполагает сокра­щение платежей по 1 млн в год. Тогда

я10;20 _ 0,2

а1О:2О-10х1,2-10

А = 15а10:2о + ' по------------------ (-D = 62,887 - 12,887 =

= 50 млн руб.

0,2

s = 15sio;20 + 10:п о------------ (-D = 389,380 - 79,793 =

= 309,557 млн руб.

Иногда при анализе переменных рент может возникнуть об­ратная задача: определение первого члена ренты R или ее при­роста а по всем остальным заданным параметрам ренты. На­пример, когда известна сумма, которую нужно аккумулировать

128

за п лет, и необходимо разработать конкретный план реализа­ции этой задачи. Получив R из (6.1) и (6.2), находим для годо­вых рент постнумерандо:

А +

R =

(6.7)

а_ Г

и;/

па

а_ i'

R =

(6.8)

S +

SnJ

В свою очередь, если определяется размер прироста при за­данном R, то

_ (А - Rami)i а a„.s - nv" '

(6.9)

а =

(S-RsnU)i

Sn;i - »

(6.10)

Переменная /?-срочная рента с постоянным абсолютным приро­стом. Пусть R — базовая величина разовой выплаты, а — годо­вой прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны

R, R + —, R + 2—,..., /?+(/>/!- 1)-.
Р Р Р

Отдельный член этого ряда находится как

R = Л+ (/- 1)—, /= 1, .... 9рп. Р

По определению для ренты постнумерандо при начислении процентов р раз в году получим

1И)**-

(6.П)

рп

/-1

*♦£(,-■)(,♦,)

n-tlp

(6.12) 129

ПРИМЕР 6.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличивать­ся в течение двух лет — каждый квартал на 25 млн руб. Первона­чальный объем сбыта за квартал 500 млн руб. Определим нара­щенную сумму к концу срока при условии, что деньги за продук­цию поступают постнумерандо.

По условиям задачи Я = 500, а/р =25, / = 20%, п = 2, рп = 8. Наращенная сумма к концу двух лет составит

S « У[500 + 25(f - 1)] х 1,22"f/4 « 4865 млн руб.

§6.2. Ренты

с постоянным относительным

приростом платежей

Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои разме­ры во времени с постоянным относительным ростом, т. е. сле­дуют геометрической прогрессии. Поток таких платежей состо­ит из членов Л, Rq, /?^2,..., Rqn~x (q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv1, ..., Rqn~xvn. Получена геометрическая про­грессия с первым членом Rv и знаменателем qv . Сумма членов этой прогрессии равна

q"v" — 1 (qv)" — 1

А = Rv*--------- - = R w > (6л3)

qv 1 q - (1 + i)

Пусть теперь q = 1 + к, где к — темп прироста платежей. После простых преобразований получим

_,1 + к)"

A = R----- :_ к . (6.14)

Заметим, что прирост может быть как положительным (к > 0), так и отрицательным (к < 0).

Наращенная сумма ренты находится как

а" - (1 + i)"

130

_ „о+*>-_<■+.г (615)

1\> I

ПРИМЕР 6.3. Несколько изменим условия примера 6.1. Пусть те­перь члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (/с = 0,12). В этом случае

(0,9У°

'-■Л2 А = 15 х Q2_012 = 93,448 млн руб.,

1,1210- 1,210 S = 15 х — = 578,604 млн руб.

I, it ■" I ,^

Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с тем­пом прироста минус 10% в год (к = -0,1), тогда

<-(С

А = 15 х Q2-/-Q ц = 47,184 млн руб., S = 47,184 х 1,210 - 292,151 млн руб.

Для годовых рент пренумерандо получим

/1 + к)"

(qv)" - 1 U + '>

А = *W; . (1 + 0 = R--------- 1--- Н-(1 + 0. (6-16)

qv — 1 л — /

(ov)" ~ 1 V1 + ',

5 = R———(1 + 0я = R--------- т--- =-Hl + 0я+|. (6.17)

qv — 1 Ас — /

Рента р-срочная с постоянными опюопельными изменениями членов. Пусть платежи производятся не один, а р раз в году пост-нумерандо, проценты начисляются раз в году по ставке /. В этом случае последовательность платежей представляет собой геомет­рическую прогрессию Я, Rq, ..., Rq"?"1, где q — темп роста за пе­риод. Начислим проценты и суммируем результат, получим

qnp - Л + /)я

131

Для современной величины такой ренты находим

Qnpvn _ J

ПРИМЕР 6.4. Пусть Я = 15 млн руб., п = 10, / = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Тогда наращенная сумма и современная стоимость ренты постнумеран-до составят:

1.0620- 1,210 S = 15 х 1 QQ , 1 2о,5 = 1263,052 млн руб.,

^Об^х 1,2"10- 1 А = 15 х------- 1 QQ . 1 20,5----- = 203,990 млн руб.