Финансовая математика (стр. 24 )

"„;/ =

1

(1 + /Г" 1 1

. =7 " ° + °~"х у = ° " уМ)а~*т

В последней записи искомый коэффициент приведения оп­ределен как доля коэффициента приведения вечной ренты, за­висящая от срока ренты.

Рис. 5.2

ПРИМЕР 5.9. Годовая рента постнумерандо характеризуется па­раметрами: Я = 4 млн руб, п = 5. При дисконтировании по слож­ной ставке процента, равной 18,5 % годовых, получим

108

1 - 1.185"5
А = 4a*iRs = 4 х-------- ГТ^------- = 4 х 3,092 = 12,368 млн руб.

5,18,5 о,185

Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоя­щий момент в сумме 12,368 млн руб. Иначе говоря, 12,368 млн руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн руб. в течение 5 лет.

Заметим, что формула (5.14) может быть применена и для определения современной стоимости /ьсрочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов ренты, а / — став­ку за один период (но не годовую).

Коэффициент приведения ренты за срок п = л, + п2 опреде­ляется следующим образом:

ан;1 - Я*,;/

+ в|.2У1- (5.16)

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Не будем выводить формулу для этого случая, а просто заменим в форму­ле (5.14) дисконтный множи+ /)~/| на эквивалентную ве­личину (1 + j/m)~mn, соответственно, / заменим на (1 + j/m)m -— 1, после чего имеем:

1 -(1 +7/тГ'™

Л = R /л , .. чт------ — = Ramn. i/m. (5.17)

(1 +у//и)т - 1 mnj/m

Рента /^-срочная (т = 1). Если платежи производятся не один, а р раз в году, то коэффициенты приведения находятся так же, как это было сделано для годовой ренты. Только теперь размер платежа равен R/p, а число членов составит пр. Сумма дисконтированных платежей в этом случае равна

А - - ? vt/p - R r1"'1+l'---------- - Ra{p). (5.18)

ПРИМЕР 5.10. В первой главе упоминалась авария на химиче­ском заводе в Бхопале (Индия). Корпорация "Юнион Карбайд" предложила в качестве компенсации пострадавшим 200 млн долл., выплачиваемых в течение 35 лет. Предложение было от­клонено ("За рубежом". 1985. № 11). Предложенная компенсация

109

эквивалентна 57,5 млн долл., выплаченных единовременно. Пока­жем, как была рассчитана эта сумма.

Если выплаты производятся помесячно на протяжении 35 лет равными суммами, то данный ряд платежей представляет собой постоянную ренту (р = 12) с годовой суммой выплат 200/35 = = 5,714 млн долл. в год. Допустим, это рента постнумерандо. То­гда согласно (5.18), положив / = 10% , получим

1 - 1,1-35 А = 5,714 1 11/12 _ = 57,59 млн долл.

Иначе говоря, капитал в сумме всего 57,59 млн долл. при на­числении 10% годовых достаточен для выполнения обязательства.

Рента ^-срочная (р = /и). Число членов ренты здесь равно числу начислений процентов; величина члена ренты составляет R/m . В итоге

R 1 -(1 +7/w)-"w 1 -(1 +у/тГ™

А = х------------------ = R---------- :-------- . (5.19)

т j/m j

Этот же результат можно получить и по формуле (5.14) и при этом воспользоваться таблицей коэффициентов приведения по­стоянных рент. В этом случае вместо числа лет берется количе­ство периодов ренты, процентная ставка и величина члена рен­ты определяются соответствующим образом.

Для расчета современной стоимости платежей ренты с усло­вием р = т можно воспользоваться программой ПЗ (PV) паке­та Excel, которая определяет величину А с учетом единовремен­ного взноса в конце срока. Расчет производится по формуле

А = R х an;i + БС х (1 + /ГЛ,

где R — член ренты, БС — единовременный взнос, an;i — коэф­фициент приведения постоянной ренты, п — число'периодов выплаты ренты и начисления процентов, / — процентная став­ка за период.

Последовательность действий при использовании программы ПЗ

1. Последовательно вызвать: £, "финансовые функции", ПЗ.

2.  Показать в строках окошка условия выплаты ренты, размер единовременного платежа и порядок начисления процентов:

по

Норма — ставка начисляемых процентов за период, Клер — число периодов,

Выплата — член ренты; показывается с отрицательным знаком,

БС — единовременный взнос в конце срока, показывает­ся с отрицательным знаком. Если эта величина не указы­вается, то результат — современная стоимость постоянной ренты,

Тип — вид ренты, указать 0 для ренты постнумерандо и 1 — для ренты пренумерандо. Если вид ренты не указывает­ся, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ние автоматически показывается расчетная величина. После на­жатия кнопки ОК эта величина показывается в выделенной ячейке таблицы Excel.

ПРИМЕР 5.11. Параметры ренты пренумерандо: R = 100 (годо­вая выплата), п = 5, р = т = 2. Общее число платежей — 10, ставка за полугодие 6%. Введем параметры в окошко програм­мы ПЗ:

Норма: 6%, Кпер: 10, Выплата: -50, Тип: 1, Ответ: 390,085.

Рента /ьсрочная (р * т). Сумма членов соответствующей прогрессии составит

Л = а г/, , .. Чт/я--------- — - &а .и • (5.20)

Ренты с непрерывным начислением процентов. Пусть, как и выше, ряд состоит из ежегодных платежей, равных Л, однако проценты начисляются непрерывно, сила роста равна 6. При дисконтировании по этой ставке всех членов ряда получим геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменате­лем ё~ь. Сумма членов прогрессии находится следующим об­разом:

1 - е"6я
A-R-j—^-Ra^. (5.21)

ill

Если имеет место р-срочная рента с непрерывным начисле­нием процентов, то

1 — е~Ьп
А = R—TJTn—77 = Л!^ (5.22)

ПРИМЕР 5.12. Для условий примера 5.9 при 6 = 0,185 находим

1 _ е-0,185х5 А = 4----------- о,185 - ----- = 11 »878 МЛН РУб>

Сравнение современных стоимостей рент постнумерандо с раз­ными условиями. Как следует из приведенных примеров, вели­чина современной стоимости заметно зависит от условий нара­щения процентов (точнее, дисконтирования) и частоты выплат в пределах года. Ниже приводятся соотношения современных стоимостей соответствующих рент. Современные стоимости обозначены как А(р;т), причем запись А(\;1) означает годовую ренту с ежегодным начислением процентов, А(р; ») относится к /ьсрочной ренте с непрерывным начислением процентов.

Для одних и тех же годовых сумм выплат и процентных ста­вок (/ =у =6) получим следующие неравенства:

А( 1;») < А( 1 ;/и) < Л( 1; 1) < А(р;*>) < А{р\т) < А{р\т) < А(р\т) < А(р; 1).

т>р>\ р=т>1 р>т>\

Из приведенных неравенств, в частности, следует, что рента с условиями р = 4 и т = 2 имеет меньшую современную стои­мость, чем рента с/; = 2и/и = 4.

Зависимость между наращенной и современной стоимостью ренты. В § 5.2 была показана зависимость между А и S произ­вольного потока платежей (см (5.3)). Для годовых и р-срочных постоянных рент постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

1 - (1 + /Г" (1 + 0я - 1
А(\ + /)л = R-------- ———0 + 0я = Я1------------ :------- = S. (5.23)

Аналогичным образом получим

Svn = A.

112

Для рент с начислением процентов т раз в году имеем

А{\ +j/m)mn = 5, (5.24)