Финансовая математика (стр. 39 )

Я-1

+ 2вя-2^-1 + 2 */

(2)

Преобразуем (1) с использованием (2) и определим л - 1 ча­стных производных:

/'(*i)-*iA +

/я-1 \

/'(«2)-^24|«/-ij^

(3)

182

/'(*«_,)-*„_,/>„_, + 1*/-1

D„.

Разделим каждое уравнение системы (3) на Dn и приравняем его нулю. После некоторых преобразований получим

«|ГБ- + Ч + «1 + вэ + " + «.-1-1.

«I +o2\-^+\\ + ai + ... + a^l^l,

(4)

а\ + а2 + аЪ + —+ Дл

+ i=i.

Представим систему уравнений (4) в матричном виде:

AD=e. После чего получим искомое уравнение (8.17):

А = Drxe.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  , Финансовый рынок: Расчет и Риск. М.: Инфра-М, 1994. § 6.4.

2.  , Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. М.: Финансы и статистика, 1979. С. 56-57.

3.  Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Филинъ, 1998. Гл. 6, 7.

Глава 9

ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ

§9.1. Расходы по обслуживанию долга

Можно выделить, по крайней мере, три цели для количест­венного анализа долгосрочной задолженности (далее для крат­кости любой вид долгосрочного долга будем называть займом или долгом):

— разработка плана погашения займа, адекватного условиям финансового соглашения;

— оценка стоимости долга с учетом всех поступлений для его погашения и состояния денежного рынка на момент оценивания;

— анализ эффективности (доходности) финансовой опера­ции для кредитора.

Основное внимание в данной главе уделяется первой из по­ставленных задач. Остальные проблемы, в том числе связанные с облигационными займами, обсуждаются в следующих главах.

Разработка плана погашения займа заключается в составле­нии графика (расписания) периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслу­живанию долга (debt service) или, более кратко, срочными упла­тами, расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.

Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают: срок займа, продолжительность льготного периода (grace period), уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В льготном перио­де основной долг не погашается, обычно выплачиваются про­центы. Впрочем, не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга.

184

В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа. Значительно реже они начисля­ются и присоединяются к основной сумме долга. Основная сумма долга иногда погашается одним платежом, чаще она вы­плачивается частями — в рассрочку.

Каждый из рассмотренных ниже методов планирования по­гашения долга в той или иной степени, но обязательно исполь­зует результаты, полученные выше при анализе финансовых рент.

При определении срочных уплат используем следующие ос­новные обозначения:

D — сумма задолженности;

Y — срочная уплата;

/ — проценты по займу;

R -— расходы по погашению основного долга;

g — ставка процента по займу;

п — общий срок займа;

L — продолжительность льготного периода.

По определению расходы по обслуживанию долга (срочная уплата) находятся как Y = / + R. Если в льготном периоде вы­плачиваются проценты, то расходы по долгу в этом периоде со­кращаются до К=/.

§9.2. Создание погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погаситель­ного фонда (sinking fund). Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качест­ве гарантии его погашения. Разумеется, создание фонда необя­зательно надо связывать с погашением долга. На практике воз­никает необходимость накопления средств и по другим причи­нам, например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т. п.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на кото­рые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для пога­шения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными

185

процентами, накопленная в погасительном фонде к концу сро­ка, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как посто­янными, так и переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд. Как было сказано выше, задача разработки способа погашения долга, в том числе и в виде пла­на создания погасительного фонда, заключается в определении размеров срочных уплат и составляющих их элементов в зави­симости от конкретных условий займа.

Итак, пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов Л, на которые начисляются сложные про­центы по ставке /. Одновременно происходит выплата процен­тов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит

r=Z)g+ R. (9.1)

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Как видим, первая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую. Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, L Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо, тогда

D

где sN;i — коэффициент наращения постоянной ренты со сро­ком N.

В целом срочная уплата находится как:

Y=Dg + Y~. (9.2)

SN;i

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата опреде­ляется следующим образом:

(1 + Z)N
Y= Dy *' . (9.3)

SN;i

ПРИМЕР 9.1. Долг в сумме 100 млн руб. выдан на 5 лет под 20% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке

186

22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд фор­мируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года рав­ными суммами.

Таким образом, имеем D = 100, п = N = 5, д = 20%, / = 22%. Находим s5;22 = 7,7395826 и, следовательно,

100 У = 100 х 0,2 + -гзгггггг = 20 + 12,92059 = 32,92687 млн руб. 7,7о9оо2о

Пусть теперь условия контракта предусматривают присоеди­нение процентов к основной сумме долга, тогда согласно (9.3)

100 х 1,25 Y= 7,735826 = 32,16618 млн руб.

При создании погасительного фонда используются две про­центные ставки — / и g. Первая определяет темп роста погаси­тельного фонда, вторая — сумму выплачиваемых за заем процен­тов. Нетрудно догадаться, что рассматриваемый способ погаше­ния долга — создание фонда — выгодна должнику только тогда, когда i > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность / — g, тем, оче­видно, больше экономия средств должника, направляемая на по­крытие долга. В случае, когда / =g, преимущества создания фон­да пропадают — финансовые результаты для должника оказыва­ются такими же, как и при погашении долга частями (о чем речь пойдет ниже).

Накопленные за / лет средства фонда определяются по зна­комым нам формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно:

5ж«5,(1+/) + Л <9-4>

ПРИМЕР 9.2. Продолжим пример 9.1 (срочные уплаты включают процентные платежи). Пусть средства в фонд вносятся только по­следние четыре года, остальные условия сохраняются. Тогда