Финансовая математика (стр. 34 )

157

Перейдем к определению барьерного значения сложной ставки. На основе (7.8) находим

Откуда

HS2 I 5,)

hi + <*) = -^-^--

В итоге

/* = ал/!п(1 + ik)- 1. (7.10)

ПРИМЕР 7.5. Возможны два варианта оплаты товара при его по­ставке. Стоимость и сроки поставки: S1 = 1; S2 = 1,4; п1 = 1; п2 = 2,5 (сроки измерены в годах). Покупателю необходимо вы­брать вариант покупки при условии, что срок не имеет решающе­го значения, иными словами, он должен ориентироваться только на величину выплат.

Находим величину барьерной ставки, при которой дисконтиро­ванные размеры затрат окажутся одинаковыми:

1п(1 +/я) = "7у-= 1.22431;

ik = ant In 0,22431 - 1 =0,251.

Итак, если рыночная ставка будет меньше 25,1%, то для поку­пателя окажется предпочтительней второй вариант.

Выбор варианта депозита. Метод определения барьерной точ­ки с использованием кривой доходности при выборе варианта депозита с наибольшей доходностью рассмотрен в гл. 4, пример 4.21. Поэтому на этой проблеме больше останавливаться не бу­дем. Дополнительные примеры применения метода барьерной точки в финансовом анализе будут рассмотрены в других главах.

§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки

Барьерное значение выпуска продукции определялось выше для линейной и нелинейной моделей при условии, что все ис­ходные данные установлены однозначно. В этой ситуации по-

158

лучают только одно расчетное значение выпуска. В действи­тельности все не так просто. Так, цену продукции, вероятно, можно с большей надежностью определить для будущего про­изводства в виде некоторого интервала р' + р". Обратившись к линейной модели, получим для этой ситуации интервал значе­ний барьерного выпуска продукции Q'k — Q"k (см. рис. 7.7). Аналогичное можно сказать и об остальных параметрах в фор­муле (7.3). Таким образом, при условии, что неоднозначными являются постоянные или переменные затраты, получим диапа­зоны барьерных показателей выпуска для линейной модели (см. рис. 7.8, 7.9).

На рис. 7.10 иллюстрируется совместное влияние неопреде­ленности в цене продукции и переменных затрат на положение барьерного выпуска продукции.

Рис, 7,7 Рис, 7,8

В свою очередь неоднозначность ожидаемой цены продукта и постоянных затрат приводит к результату, который показан на рис. 7.11.

Рис, 7,9 Рис, 7,10

159

На рис. 7.12 иллюстрируется ситуация, при которой интер­валами заданы все три параметра. На рисунке показаны четыре критических точки: а, Ь, с, d, причем точка а соответствует ми­нимальным затратам и максимальной цене, точка Ь — макси­мальным затратам и цене, точка с — максимальным затратам и минимальной цене, наконец, точка d — минимальным затратам и цене. В зависимости от выдвинутых предположений можно получить ряд диапазонов для барьерной точки: а + b, a + с и т. д.

Что касается методов определения интервалов для значений параметров, то в большинстве случаев вполне оправданно экс­пертное их оценивание.

Интервалы можно установить и в рамках сценарного подхода. В этом случае определяется набор параметров для некоторой совокупности условий (сценария). Обычно разрабатывают оп­тимистический, пессимистический и наиболее вероятный сце­нарии. Оптимистический и пессимистический сценарии позво­ляют определить крайние значения искомой величины. Наибо­лее вероятный сценарий дает промежуточную оценку этой ве­личины. Задание параметров, характеризующих некоторую про­изводственную систему, в виде интервалов дает более полное представление о реально ожидаемых результатах.

§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению

Постановку задачи по определению барьерного объема вы­пуска продукции можно расширить, учитывая дополнительные условия. Представим себе, что разрабатывается проект создания

160

предприятия по производству некоторого нового вида продук­ции. Выпуск продукции намечен в течение п лет в равных объ­емах по годам. Что касается затрат, то сохраняется их деление на постоянные (не связанные с объемами производства) и пе­ременные, пропорциональные выпуску продукции. Текущие за­траты и поступления от реализации продукции можно предста­вить в виде потоков платежей. Здесь возможны два конкуриру­ющих подхода к определению барьерного выпуска. В первом, который условно назовем бухгалтерским, инвестиции не при­нимаются во внимание непосредственно — они учитываются через амортизационные отчисления. Последние включают в те­кущие затраты. Во втором, финансовом, подходе инвестиции иг­рают ключевую роль — выступают в качестве самостоятельного фактора — в то время как амортизация не учитывается в теку­щих расходах. Как видим, оба способа избегают двойного сче­та по отношению к инвестиционным затратам.

Оба способа применяются на практике, однако они дают раз­ные результаты. Начнем с бухгалтерского подхода, согласно кото­рому необходимо определить тот минимальный объем выпуска, при котором затраты окупятся. Иначе говоря, сохраняется ориен­тация на прибыль. Найдем размер прибыли для отдельного года:

P = pQ~{cQ+f+d), (7.11)

где р и с имеют тот же смысл, что и выше (см. § 7.1), /•— по­стоянные расходы за год, d — сумма амортизационных списа­ний за тот же период (d = const).

Барьерный объем выпуска продукции составит:

f+d

<Ь-Т=7- (7Л2)

что, по существу, совпадает с формулой (7.3). Отличие от пос­ледней только в выделении в числителе в качестве самостоя­тельного слагаемого суммы амортизационных расходов.

Если принять во внимание тот факт, что выпуск продукции (поступления дохода) и затраты представляют собой потоки платежей, то "конкурирующие" функции определяются как со­временные стоимости потоков, а именно:

PV(pQ)n PV(f+ d+ cQ\ где PV"■— оператор определения современной стоимости.

161

На основе этих функций получим равенство

PVipQd^PVif+d+cQj.

Решение данного уравнения1 относительно критического объема выпуска приводит к формуле, аналогичной (7. 12).

Графическая иллюстрация положения барьерной точки вы­пуска представлена на рис. 7.13.

PV(pQ)

> Q

PV(f + d + cQ)

Рис. 7.13

ПРИМЕР 7.6. Исходные данные: п = 5, d = 50, f = 20, р = 50, с = 30. Находим

Л 20 + 50 ос Оь = ——— = 35. * 50-30

Проверим этот результат, для чего определим современные стоимости денежных поступлений и затрат для барьерного выпу­ска. Для дисконтирования примем / =15%, Находим а5;15 = = 3,35216. После чего получим

РО*а5;15<1 + /)°5 = 50 х 35 х 3,35216 х 1.1505 = 629,

(f + d + cOk)a5.i5(1 + /)05 = (20 + 50 + 30 х 35)3,35216 х 1.1505 =

= 629.

Предположим теперь, что все участвующие в расчете удель­ные характеристики изменяются во времени, т. е. вместо р, с, /, d имеем рр ср fp dr Переменные параметры, вероятно, более адек-

См. Математическое приложение к главе.

162

ватны реальности. Например, затраты на производство могут расти в связи с увеличением расходов на ремонт по мере износа оборудования, в то же время постоянные затраты могут умень­шаться и т. д. Исходное равенство в этом случае имеет вид:

2(/,+4)И'+е*2с'у"'-&2/>у\

/ t t

Отсюда

п S(/,»4)v*

g*"v ». v ">• (713)

ПРИМЕР 7.7. В таблице приведены исходные данные для расче­та барьерного выпуска. Все параметры кроме сумм амортизации здесь переменные величины.

t	Р	С	1	d
1	50	28	20	30
2	50	28	20	30
3	46	30	16	30
4	46	30	16	30
5	42	31	12	30

Для дисконтирования применим процентную ставку 15%. Не­обходимые для расчета по формуле (7.13) данные приведены в следующей таблице.