Финансовая математика (стр. 75 )

Короткое замечание об учете инфляции. Безусловно этот фа­ктор должен быть учтен при определении размера пенсии вне зависимости от выбранной схемы. За рубежом обычно (при низких темпах инфляции) для этого увеличивают применяемую в расчетах процентную ставку на величину ожидаемого долго­срочного темпа инфляции. При большом темпе такой прием невозможен. Единственный разумный путь — периодическая корректировка пенсии с учетом реально полученного дохода от инвестирования накоплений.

§17.5. Страховые пенсионные схемы

Пенсионное страхование по существу представляет собой по­следовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пен­сия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разо­вой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью стра­хования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:

{ЕХ + 2ЕХ + ... + ^.^yEj

где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете.

Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.

Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использо­вании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании тре­буют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по ин­валидности).

359

Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взно­се, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соот­ветствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — про­изведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для го­довых пенсий пренумерандо имеем

Ех= Rxax= R-jt, (17.10)

X

где ах — стоимость немедленного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.18)), R — размер годовой пенсии.

В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим

^-Лх^-Л-^*-, (17.11)

где ^ах — стоимость отложенного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.20)).

Таким же способом получим суммы единовременных взно­сов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расче­та стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае име­ем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим

N6o 3082,2 а ллосс 20|*<о - ц^ «-55J - 1'04855' 0ТКУда

^40 = 1 х 1.0*855 • 1,04855 тыс. руб.

Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)):

с л Neo - N75 3082,2 - 684,24

5,0 = 1 * "6015! =---- Б------- =---------- 389J7-------- = 6'16173 ТЫС* РУ6"

В свою очередь для страховалет получим (см. (16.24)):

360

с л ^60 - ^75 3082,2 - 684,24 ло„с„

Е4о = 1 х 201*60:151 = —q----------- =--------- ^^------------ = 0,81577 тыс. руб.

Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доход­ности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекатель­но для клиента. Однако при этом повышается риск для страхов­щика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пен­сионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выпла­чивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна

Ех = R х *<ю х v6°"x = Я-lf-v60-*.

ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет).

Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит

Е4о = 1 х "60:151 * v2° = 6,16173 х 1,09-20 - 1,099 тыс.руб.

Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следу­ющей таблице.

Таблица 17.1 Стоимости страхования по трем пенсионным схемам

Возраст застра-	Пенсионные схемы
хованного	Сберегательная	Страховая	Смешанная
60 лет 40 лет	8061 1438	6162 816	6162 1099

Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное мес­то по размеру единовременного взноса для сорокалетнего за­страхованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участ­ника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.

Совместим три кривые, характеризующие динамику накопле­ния для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3).

361

8061 j
	/•6162\
1438
1099
816 4				W
0 60	75	^ Возраст 1
	Рис. 17.3

Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто вы­плачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу экви­валентности финансовых обязательств обоих участников стои­мости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) явля­ется немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожиз­ненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегод­ные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:

Pax. t] = R na*

(17.12)

где Р — годовая сумма взносов (нетто-премии), R — годовая сумма пенсии.

Откуда

D _ r nax _ D "x+n+\ Nx+{ /Vjc+z+i

ах-А

Z)

(17.13)

N.

= R

х+я+1

^Yjc+1 Wjc+/+I

Например, если первая выплата пенсии производится, допу­стим, в 60 лет (х + п + 1 = 60), возраст при заключении стра­хового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то