Финансовая математика (стр. 47 )

Время

Контур операции для данного уравнения приведен на рис. 10.3. s

Рис. 10.3

Из приведенного выше равенства получим значение /эп при заданной величине Р2:

1 д\ • ! + -£'■

-1

(10.14)

Если в качестве измерителя эффективности принята ставка сложных процентов, то

ЛИ + 4/

л.

К

-1.

(10.15)

Рассмотрим вариант в. Здесь покупка производится спустя некоторое время после выпуска сертификата, а его продажа — до момента погашения. В этом случае опять приходим к урав­нению (10.7), в котором Р{ означает цену приобретения (а не номинал). Отсюда для расчета /эп и /э пригодны формулы (10.8M10.il).

221

ПРИМЕР 10.5. Операция заключается в покупке сертификата за 1020 тыс. руб. за 160 дней до его выкупа. Инструмент был про­дан за 1060 тыс. руб. через 90 дней. Какова доходность опера­ции, измеренная в виде простой и сложной ставок? Исходные данные Р, = 1020, Р2 = 1060, д^ = 160, д2 = 70, д1 - д2 = 90.

Пусть временная база простых процентов равна 365 дням, то­гда по формуле (10.8) находим

1060 - 1020 365

90

1020

х - тт~ = 0,159, или 15,9%.

Эквивалентная сложная ставка равна

1 +

90 365

х 0,159

365/90

- 1 =0,169, или 16,9%.

Величину /э можно определить и непосредственно по формуле (10.10):

'э =

1060

1020

365/90

- 1 =0,169.

ПРИМЕР 10.6. Финансовый инструмент, приносящий постоян­ный процент, куплен за 200 дней до срока его погашения и про­дан через 100 дней. В момент покупки процентная ставка на рын­ке была равна 10%, в момент продажи — 9,8%. Доходность опе­рации купли-продажи в виде годовой ставки сложных процентов равна согласно (10.13)

_ 365 + 200x0,1 ^365/ioo 'э " I 365 + 100 х 0,098

- 1 =0,103, или 10,3%.

ПРИМЕР 10.7. Сертификат с номиналом 100 тыс. руб. с объяв­ленной доходностью 12% годовых (простые проценты) сроком 720 дней куплен за 110 тыс. руб. за 240 дней до его оплаты. Ка­кова доходность инвестиций в виде /э?

Если К = 360 дней, то по формуле (10.15) получим

100-

720 1 +—~-х0,12 360

110

365/240

- 1 =0,19985, или 19,985%.

222

§10.5. Долгосрочные ссуды

Очевидно, что способ погашения долгосрочной задолженно­сти оказывает заметное влияние на эффективность соответству­ющей финансовой операции для кредитора. В данном парагра­фе кратко рассмотрены методы оценивания ПД долгосрочных ссуд для двух случаев: 1) когда проценты погашаются последо­вательными платежами, а основная сумма долга выплачивается в конце срока и 2) когда долг и проценты погашаются последо­вательно на протяжении всего срока ссуды. В обоих случаях предусматривается выплата комиссионных.

Ссуды с периодической выплатой процентов. Если комиссион­ные не выплачиваются, то доходность равна годовой ставке сложных процентов, эквивалентной любым применяемым в сделке процентным ставкам. Ситуация усложняется, если име­ется еще один источник дохода для кредитора — комиссион­ные. Пусть ссуда D погашается через п лет, проценты по про­стой процентной ставке / выплачиваются регулярно в конце го­да: их сумма равна DL Должнику с учетом комиссионных выда­ется ссуда в размере D{\ — g). Уравнение эквивалентности, по­лученное дисконтированием всех платежей по неизвестной ставке /э, имеет вид

Z)(l-g)-|Z)/2v/* + Z)v',| -0.

Здесь v = (1 + /э)н, Zv'3 = ял;/у Теперь это уравнение мож­но представить в виде функции от /э следующим образом:

/(/,)-Vя+ шя;,э-(1-*)-0. Если проценты выплачиваются р раз в году, то

4.)-""*7<'-(|-?)-°-

Задача, следовательно, заключается в нахождении корня данной степенной функции. Решить поставленную задачу мож­но методом Ньютона—Рафсона или простым подбором.

223

ПРИМЕР 10.8. На три года выдана ссуда 1 млн руб. под 10% го­довых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче ссуды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 5%. В ре­зультате должник получил 950 тыс. руб. Для расчета искомой ставки /э напишем функцию

%) = О + У"3 " О.1 * аз;/э - °.95 в °-

Получим /э = 1,12088. Таким образом, доходность операции для кредитора и соответственно цена кредита для должника в ви­де годовой ставки сложных процентов равны 12,088%.

Ссуды с периодическими расходами по долгу. Пусть по ссуде периодически выплачиваются проценты и погашается основ­ной долг, причем сумма расходов по обслуживанию долга по­стоянна. Тогда уравнение эквивалентности для случая, когда платежи производятся в конце года, можно представить в виде

D(\ - g) - Rani3 = 0,

где R — ежегодная сумма по обслуживанию долга (срочная уп-

D
лата). Поскольку R =---- (см.§ 5.4), то

/(/э) = ^;/э-^;/(1-8)=0- 0016)

Аналогично для случая, когда погасительные платежи осу­ществляются р раз в году, находим

/(/э) = ^э-^(1-?)==0> (Ю-17)

где а^ и а^\ — коэффициенты приведения р-срочной ренты.

ПРИМЕР 10.9. Пусть в примере 10.8 задолженность погашается равными платежами. Все остальные условия не изменяются. В этом случае согласно (10.16)

аз:/э = аз;ю<1 - °.°5) = 2,48685 х 0,95 = 2,36251.

Расчет /э по заданному значению а3;/ = 2,36251 можно легко осуществить с помощью линейной интерполяции. Поскольку /э > > 10%, то для интерполяции примем: / = 12% и /в = 13%. Находим следующие табличные значения коэффициентов приведения рен-

224

ты: а3;12 = 2,38134, а3;13 = 2,36115. Интерполяционное значение ставки:

2,38134 - 2,36251

'э = 12 + Лсяо,—Г^ГТГ <13 " 12) = 12,933%. э 2,38134 - 2,36115

Нерегулярный поток платежей. Задолженность может быть погашена путем выплаты нерегулярного потока платежей: /?,, ..., Rn. Эффективность кредита при таком способе погаше­ния определим на основе следующего уравнения эквивалентно­сти вложений и отдач:

/(4)-0(i-*)-iv -°> <1ол8>

7-1

где tj — интервал от начала сделки до момента выплаты у-го по­гасительного платежа. Из условия сбалансированности сделки находим, применяя договорную ставку /, величину последнего взноса:

Rn-DqT -JflyA (Ю.19)

7-1

где q = 1 + /э; Г = Z 7J., Tj — срок от выплаты у-го платежа до конца сделки.

Продемонстрированный выше метод оценки показателя полной доходности на основе функции /(/э) применяется, в ча­стности, при анализе облигаций и производственных инвести­ций. В следующих главах мы затронем эти проблемы.

§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)

Расчет доходности для схем, предусматривающих рассроч­ки платежей, довольно хлопотливое дело. На практике при решении подобных задач иногда прибегают к приближенным методам, которые основаны на замене регулярного потока платежей разовым платежом, отнесенного к середине общего срока погашения. Естественно, что такое упрощение условий скажется на точности результата. Остановимся на двух зада­чах.

225

Условия первой задачи. Пусть некоторое долговое обязатель­ство в сумме D покупается по цене Р. Долг последовательно по­гашается в течение п периодов. Разовое погашение в сумме R = = D/n. Доходность в конечном счете определяется здесь ценой приобретения обязательства

Определим доходность вложения в такое долгосрочное обяза­тельство. Стандартное решение заключается в разработке уравне­ния эквивалентности вида Р = Ran.^ и его решения относительно неизвестной ставки /э. (Как было показано в гл. 5, простого алге­браического решения нет.) В свою очередь упрощенный метод сводится к решению элементарного равенства Р = DvT. Отсюда

/э-^-1, (Ю.20)

где Т —средний срок обязательства.

Следует подчеркнуть, что при определении среднего срока самым простым способом в виде

Г0 = л/2 (10.21)

не учитывается вид ренты, характеризующей поступления. С учетом этого фактора получим следующие средние сроки: для поступлений постнумерандо

Т{ = у + у, (10.22)

для ренты пренумерандо

Т2 = у - у. (10.23)

ПРИМЕР 10.10. Операция характеризуется следующими данны­ми: D = 100, Р = 75, п = 5. Оценим доходность для двух вариан­тов погашения задолженности — постнумерандо и пренумерандо. Средние сроки: Г0 = 2,5; Г, = 3; Г2 = 2 года.