Финансовая математика (стр. 77 )

На сумму единовременного взноса наращиваются проценты за соответствующий срок. В итоге при R = 1 на счете участни­ка в момент / находится сумма St:

где пЕх — размер премии по страхованию на дожитие (см. (17.1)).

Для момента / > О имеем Sf < tVx. Таким образом, наращен­ная сумма на персональном счете застрахованного меньше резерва на один и тот же момент времени, за исключением начального.

Из соотношения tVx и Stтакже следует, что

Dx xv< lx 1

Л-*г^—-$*-f--$*-r-' (17'2,)

где tpx — вероятность дожития лица в возрасте х лет до возрас­та X + /.

На рис. 17.4 отражена динамика указанных величин в зави­симости от срока /. Чем ближе момент оценки резерва ко вре­мени погашения обязательства, тем больше разность между суммой на счете и резервом.

Важно понять причину расхождения между полученными выше показателями. Дело в том, что резерв увеличивается не только за счет накопленных процентов (на персональном сче­те), но и в силу солидарной ответственности застрахованных, т. е. за счет тех участников, которые не дожили до возраста х +

367

+ и Из сказанного следует, что общий размер резерва для дожив­ших до возраста х + / равен сумме средств на персональных сче­тах всех участников — доживших и не доживших до этого воз­раста.

S0 "ям

накопления

Возраст

ПРИМЕР 17.10. Мужчина в возрасте 50 лет страхуется на дожи­тие до 60 лет, страховая сумма Я = 1000 денежных единиц. Пусть коммутационные функции определены для 9% и условий, учтен­ных в табл.12 Приложения. В этом случае сумма взноса и резерв на начало срока составит

060 _____ 389,17

Ъ - 10^50 = ЮОО-^ = 1000^^-= 345,98. Спустя один год на счете окажется наращенная сумма

S, = 345,98 х 1,09 = 377,12. В то же время резерв составит

60

,1^ = 1000-^ = 1000

'51

389,17

1017,4

= 382.51

или по формуле (17.21)

1 ____ 'so ______ 83 640

,1^0= 377,12 х------- = 377,12 х~ = 377.12 х

82 461

1 ю iPso '

= 382,51.

Таким образом, прирост резерва за один год за счет солидар­ности застрахованных равен 382,51 - 377,12 = 5,39. Динамика средств на счете и размеров резерва показана в следующей таб­лице.

368

t	0	5	10
s, У*>	345.98 345.98	532,33 625.77	819,06 1000.00

Как видим, на индивидуальном счете к концу срока страхова­ния средств меньше необходимых 1000 единиц. Однако следует учесть, что из 100 застрахованных в указанном возрасте соглас­но таблице смертности доживут до 60 лет только 82 человека, по­этому накопленные средства всех застрахованных окажутся дос­таточными для них.

Интересно выделить влияние факторов на размер резерва. Для этого найдем отношение размеров резерва для двух первых лет накопления для страхования на дожитие:

А

где рх — вероятность прожить один год после возраста х лет. Аналогичным образом определим динамику резерва за / лет:

х+п

ух+\

х+п

'х+\

lvx

X

/.

,JC+I

*x+V

= -7(1 + 0,

Рх

Л 1

(17.22)

Y = "7(1 + /y-

0 Ух /Рх

Из сказанного выше следует, что размеры резерва можно оп­ределять и последовательно как

(17.23)

Как следует из полученного соотношения, резерв увеличива­ется быстрее, чем идет наращение за счет процентов, так как tpx < 1. Причем рост процентной ставки ускоряет накопление резерва, а увеличение вероятности дожития сокращает его.

Математический резерв при страховании жизни в случае, ко­гда это страхование оплачивается разовым взносом, формиру­ется аналогично тому, как было показано выше для страхова­ния на дожитие.

Страхование пенсии. Кратко остановимся на определении ре­зерва для еще одного вида личного страхования — индивиду­ального страхования пожизненной пенсии с единовременной

369

выплатой взноса. Динамика резерва для этого случая показана на рис 17.5. Обозначения на нем имеют следующее содержание:

Рх — размер единовременного взноса, L — возраст выхода на пенсию,

h — возраст, в котором исчерпываются средства на персо­нальном счете застрахованного, со — предельный возраст.

Резерв, накопления

х L /?о) Возраст

Рис. 17.5

Весь период от возраста х до предельного возраста можно разделить на два временных отрезка. В первом, до начала вы­плат пенсии, происходит накопление резерва, во втором — на­копление сопровождается расходованием средств. На начало страхования (сразу после взноса премии) резерв равен актуар­ной стоимости страховых выплат, которая в свою очередь рав­на величине единовременного взноса Рх. Если принять, что раз­мер годовой пенсии равен R и она выплачивается в начале го­да, то

ок*-4гж-дГЛ <17-24>

Размер резерва в первом периоде (х + t < L)

NL

Л = -7Г*. (17.25)

С увеличением возраста знаменатель уменьшается и соответ­ственно растет резерв. Во втором периоде (х + t ъ L) динамика резерва иная. Она определяется как

370

Л - "J2* (17.26)

Размеры резерва можно получить и последовательно. Для первого периода он определяется формулой (17.19). Во втором периоде, когда выплачиваются пенсии, получаем

,+Л = Л*Т--(1+0-Л (17.27)

В свою очередь движение средств на персональном счете (S() на каждом шаге во времени рассчитывается в первом периоде как

S,= Pxx(\+ /)', (17.28)

а во втором как

5Ж = 5, х (1 + 0-Л (17.29)

Важно отметить, что поскольку на персональном счете средств меньше, чем сумма резерва, то через некоторый отрезок времени (в возрасте h лет) они полностью исчерпываются (см. рис. 17.5).

ПРИМЕР 17.11. Исходные данные: мужчина, х = 50, L = 60, Я = = 1000 , / = 9%. Размер единовременной премии (коммутацион­ные функции из табл. 12 Приложения):

Мет 3082,2

оЧю - Ъ - дг* = ТТЙГ1000 = 2740'2,

Динамика средств на персональном счете и резерва характе­ризуется следующими данными.

x + t	50	55	60	65	00
	2740 2740	4216 4579	6486 7919	4582 7120	1000

Полностью сумма на персональном счете будет исчерпана спустя 10 лет после начала выплат пенсии. Теоретическая нехват­ка средств на индивидуальном счете застрахованного компенси­руется, как и в предыдущем примере, за счет действия принципа солидарности застрахованных.