Финансовая математика (стр. 18 )

0= 1 х 1,2-2 +2 х 1,2"3= 1,8518.

После чего находим

N3/1,8518) лалл По= .Ш,2 =1'646г°Аа-

Приближенное решение дает 2,667 года.

§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта

Обсудим теперь общие случаи изменения условий выплат, предусматриваемых в контрактах, для которых решение нельзя получить простым суммированием приведенных на некоторую дату платежей. Разумеется, и в таких случаях решение основы­вается на принципе эквивалентности платежей до и после из­менения условий. Метод решения заключается в разработке со­ответствующего уравнения эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную дату, то по­лучим следующие уравнения эквивалентности в общем виде:

2&(1 + rijt) = 2^(1 + пк1) — при использовании простых процентов,

Е ^Jv J " Е ^куПк ~" ПРИ использовании сложных процен-

j тов.

Здесь S. и л. — параметры заменяемых платежей, Sk и пк — па­раметры заменяющих платежей.

Конкретный вид равенства определяется содержанием конт­рактов, поэтому методику разработки уравнений эквивалентно-

79

сти удобнее показать на примерах. Для этого рассмотрим три примера. В двух первых для дисконтирования применяются простые ставки, в последнем — сложные.

ПРИМЕР 4.14. Две суммы 10 и 5 млн руб. должны быть вы­плачены 1 ноября и 1 января следующего года. Стороны согласи­лись пересмотреть порядок выплат: должник 1 декабря выплачи­вает 6 млн руб. Остаток долга гасится 1 марта. Необходимо най­ти сумму остатка при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 20% (К = 365). Графическое изображение условий задачи приведено на рис. 4.3.

10 6 5 S = ?

Т ▼ V

1 н 1 д 1 я 1м

Рис. 4.3

Возьмем за базовую дату, допустим, момент выплаты 5 млн руб. Уравнение эквивалентности в этом случае выглядит следую­щим образом:

10(1+-ik°'2) + 5=6(1+ ^°-2)+S(1 + -й-0-2)"1-

Находим S = 9,531 млн руб.

Заметим, что изменение базовых дат приводит к некоторым, впрочем незначительным, смещениям результатов. Например, при приведении платежей к 1 марта получим следующее уравне­ние эквивалентности:

120 59 90

10(1 + ^°'2) + 5(1 + ^-°'2> = 6(1 + ^°»2> + S'

Теперь S = 9,523 млн руб.

ПРИМЕР 4.15. Имеется обязательство уплатить 10 млн руб. через 4 месяца и 7 млн руб. через 8 месяцев после некоторой да­ты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Изменение условий осу­ществляется с использованием простой ставки, равной 10% {К = 360). Примем в качестве базовой даты начало отсчета вре­мени. Уравнение эквивалентности в этом случае записывается следующим образом:

80

10(1 + 4/12 х 0,1)4 + 7(1 + 8/12 х 0.1)"1 = = S(1 + 3/12 x O. D"1 + S(1 + 9/12 x 0,1 Г1. Следовательно, S = 8,521 млн руб.

Перейдем к примеру с применением сложной процентной ставки.

ПРИМЕР 4.16. Существует обязательство уплатить 100 тыс. руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом: через два года выплачивается 30 тыс., а оставшийся долг — спустя 4 года после первой выпла­ты (см. рис.4.4). Необходимо определить сумму последнего пла­тежа.

30 100 S = ?

Y У V

0 2 5 6

Рис. 4.4

Уравнение эквивалентности составим на начало отсчета вре­мени:

100v5 = 30v2 + Sve,

где v — дисконтный множитель.

Аналогичное по смыслу равенство можно составить на любую дату, например на конец шестого года. В этом случае

100(1 + I) = 30(1 + /)4 + S.

Данное уравнение легко получить из предыдущего, умножив его на (1 + /)6.

При решении любого из приведенных уравнений относительно S находим (при условии, что ставка равна 10% годовых) S = 133,233 тыс. руб. Выбор базовой даты при применении слож­ных процентов не влияет на результаты расчетов по замене пла­тежей.

81

§4.5. Налоги и инфляция

В рассмотренных выше методах определения наращенной суммы не учитывались такие важные моменты, как налоги и инфляция. Затронем эту проблему.

Налог на полученные проценты. В ряде стран полученные (юридическими, а иногда и физическими лицами) проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную на­ращенную сумму и доходность депозитной операции.

Обозначим, как и выше, наращенную сумму до выплаты на­логов, через 5, а с учетом их выплат как S". Пусть ставка нало­га на проценты равна g, а общая сумма налога G.

При начислении налога на проценты возможны два вариан­та: налог начисляется за весь срок сразу, т. е. на всю сумму про­центов, или последовательно по периодам, например в конце каждого года.

При начислении простых процентов за весь срок находим1:

G = Pnig,
S" = S-(S - P)g= />[(1 + ai(1 - g)i]. (4.38)

Таким образом, учет налога при определении наращенной суммы сводится к соответствующему сокращению процентной ставки — вместо ставки / фактически применяется ставка (1 — g)i. Размер налога пропорционален сроку.

Перейдем к долгосрочным операциям со сложными процен­тами. Начнем с варианта определения налога за весь срок. Его сумма равна

G = (S- P)g = />[(1 + 0- - l]g. (4.39)

Наращенная сумма после выплаты налога составит

5" = S - G = />[(1 - g)(l + tf + g]. (4.40)

По второму варианту сумма налога определяется за каждый истекший год. Эта величина переменная — с ростом наращен­ной суммы растет и сумма налога. Рассчитаем налог на процен­ты за /-й год:

1 Доказательство (4.38) см. в Математическом приложении к главе. 82

G, = (5, - SHl)g = />[(! + /У - (1 + /Г1!* = ^(1 + О'"1 ' x g-

За весь срок сумма налогов равна полученной выше величи­не1:

Zc, = 5>(1 + 0м' х?= />[(1 + 0» - lfc = С. (4.41)

Иначе говоря, метод взыскания налога не влияет на общую его сумму. Однако, для плательщика налога далеко небезраз­лично, когда он его выплачивает.

ПРИМЕР 4.17. Пусть ставка налога на проценты равна 10%. Про­центная ставка — 30% годовых, срок начисления процентов — 3 года. Первоначальная сумма ссуды 1 млн руб. Определим разме­ры налога на проценты при начислении простых и сложных про­центов.

При начислении простых процентов за весь срок получим сле­дующие размеры наращенной суммы:

1900 тыс. руб. без уплаты налога,

S" = 1000[1 + 3(1 - 0,1)0,3] = 1810 тыс. руб. с учетом выпла­ты налога.

Начислим теперь сложные проценты:

2197 тыс. руб. без уплаты налога,

S" = 1000[(1 - 0,1)(1 + 0,3)3 + 0,1] = 2077,3 тыс. руб. с уче­том его выплаты за весь срок сразу. Сумма налога равна 119,7 тыс. руб.

При последовательной выплате налога:

за первый год выплачивается 1000 х 0,1 х0,3 = 30 тыс. руб., налог за второй год 1000 х 1,3 х 0,3 х 0,1 = 39. Наконец, за тре­тий год 1000 х 1,32 х 0,3 х 0,1 = 50,7. Общая сумма налога рав­на 119,7 тыс. руб.

Инфляция. В рассмотренных выше методах наращения все денежные величины измерялись по номиналу. Иначе говоря, не принималось во внимание снижение реальной покупательной способности денег за период, охватываемый операцией. Одна­ко в современных условиях инфляция в денежных отношениях играет заметную роль, и без ее учета конечные результаты час­то представляют собой условную величину.

Инфляцию необходимо учитывать по крайней мере в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении

1 См. Математическое приложение к главе.

83

реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Остановимся на этих проблемах. Введем обозначения:

S — наращенная сумма денег, измеренная по номиналу, С — наращенная сумма с учетом ее обесценения, У — индекс цен,

Jc — индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период.

Очевидно, что

С=5хУс.

Индекс покупательной способности денег, как известно, ра­вен обратной величине индекса цен — чем выше цены, тем ни­же покупательная способность:

'■-i-

Указанные индексы, естественно, должны относиться к оди­наковым интервалам времени. Пусть, например, сегодня полу­чено 150 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены увеличились в 1,5 раза (или повышение на 50%), Jp = 1,5, индекс покупательной способности денег равен 1/1,5. Следова­тельно, реальная покупательная способность 150 тыс. руб. со­ставит 150/1,5 = 100 тыс. руб. в деньгах с покупательной спо­собностью двухлетней давности.

Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции И понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как

А = 100Ц, - 1). В свою очередь

Например, если темп инфляции за период равен 30%, то это означает, что цены выросли в 1,3 раза.