Финансовая математика (стр. 65 )

310

4 + 1 / 2 х4 + 2>
z = 1 + —-—0,05 - 0,0475 - 0,05 х 0,0475 х---------------------

= 0,988437.

Корректирующий множитель равен 1/0,988437 = 1,0116977. Как видим, нужна более существенная корректировка цены, чем по варианту а.

Перейдем теперь к корректировке условий сделки с помо­щью изменения ставки процента за кредит. Единственное зна­чение /, при котором продавец не терпит убытки в варианте б, нетрудно определить из условия, согласно которому z = 1. Для того чтобы удовлетворить это требование, необходимо выпол­нение условия, которое следует из (14.9):

/ - d = id

откуда

'- 2л+1,- <1410>

1------------ а

ПРИМЕР 14.5. По данным примера 14.1 (вариант б) и при усло­вии, что d = 4,75%, находим

Г - , °f™------------ =0.0553935.

, _!2L±±J-0.0475 3

Таким образом, у покупателя имеются две возможности для компенсации потерь при учете портфеля векселей — повысить цену товара на 1,0116977 или увеличить ставку за кредит до 11,0787% годовых.

Корректировка цены и ставки по кредиту приводит пример­но к одинаковым конечным результатам, однако обычно на­блюдается небольшое различие в суммах векселей. Для иллюст­рации сказанного обратимся к примеру.

311

ПРИМЕР 14.6. Первоначальные условия сделки: Р - 1200 тыс. руб., ставка по кредиту за полугодие — 3%, учетная ставка за полугодие — 4,5%. Проценты начисляются на сумму векселя (ва­риант б). Выписывается шесть векселей с последовательным по­гашением по полугодиям. Поскольку / < d , то сразу можно ска­зать, что необходима корректировка исходных условий. Корректи­рующий множитель, рассчитанный по формуле (14.9), составит 1,07872. Таким образом, сумма векселя с поправкой, но без на­численных процентов равна 200 х 1,07872 = 215,74. Суммы век­селей с начисленными процентами по ставке 3% показаны в табл.14.2.

Применив второй метод корректировки, находим

0,0475

Г=. 2x6 + 1 ^Г^0'0559' 1--------- — 0,45

Значения сумм векселей, полученных наращиванием 200 тыс. руб. по ставке 5,59%, приведены в табл.14.2.

Таблица 14.2

	Умножение на Л/г	Повышение	ставки до 1*
Период	Сумма платежа	Дисконт	Сумма платежа	Дисконт
1	222,22	10,00	211,18	9,50
2	228,69	20,58	222,36	20,01
3	235,16	31,75	233,54	31,53
4	241,63	43,49	244,72	44,05
5	248,11	55,82	255,90	57,58
6	254,58	68,74	267,08	72,11
Итого	1430,39	230,38	1434,78	234,78

Нетрудно убедиться в том, что при любом методе корректи­ровки продавец получит сумму, равную оговоренной цене (1200), как это и требовалось доказать. Небольшое различие между ито­говыми суммами векселей (и дисконта) объясняется тем, что рас­пределение платежей по срокам несколько различается. В пер­вом случае оно более равномерно (минимальная сумма — 222,22, максимальная — 254,58), во втором — первый вексель выписыва­ется на сумму 211,18, последний — на 267,08. Указанный неболь­шой сдвиг приводит к увеличению общей суммы платежа по век­селям, а также суммы дисконта.

§14.3. Анализ позиций покупателя и банка

Совокупные издержки покупателя. Последовательность пога­шения векселей можно рассматривать как поток платежей. Со­вокупные издержки покупателя с учетом фактора времени рав­ны современной стоимости этого потока. В § 14.2 было показа­но, что сумма векселя может быть получена двумя путями. На­помним: вариант а — проценты по кредиту начисляются на ос­таточную сумму долга, вариант б — проценты начисляются на сумму погашения основного долга по векселю. Определим со­вокупные издержки покупателя для этих двух вариантов с уче­том того, что условия сделки сбалансированы, т. е. с необходи­мой корректировкой цены.

Вариант а. Для этого варианта современная величина плате­жей по векселям (приведенные совокупные издержки покупа­теля) составит

Wa= -2>,v'=— 2[1 +(/!-/+ l)/]v', (14.11)

где v — дисконтный множитель по рыночной процентной став­ке q.

ПРИМЕР 14.7. Поданным примера 14.1 (варианта) при условии, что сложная ставка, которая характеризует средний уровень ссуд­ного процента на рынке, равна, допустим, 15% годовых, что соот­ветствует ставке за полугодие q = 1,151/2 — 1 = 0,07238, или 7,238%. Величины Vt приведены в табл. 14.1; значение z = = 0,994375 найдено в примере 14.2. Получим:

Wa = 9914375 (300 х 1.07238"1 + 287,5 х 1.07238"2 +

+ 275 х 1.07238"3 + 262,5 х 1.07238"4) = 956,65.

Вариант б. При начислении процентов на остаток задолжен­ности получим следующее значение современной стоимости потока платежей:

»'6-7S*>'-72;r(1+'/)v'- (1412)

313

ПРИМЕР 14.8. Для варианта б начисления процентов (данные примера 14.2) при условии, что z = 0,988437 (см. пример 14.4) и q = 7,238%, находим:

Мб = Т^Г7^Г(262,5 х 1.07238"1 + 275 х 0,07238"2 + 6 0,988437

+ 287,5 х 1,07238"3 + 300 х 1.07238"4) = 954,92.

Как видим, такой способ начисления процентов при условии, что q > /', дает сумму совокупных издержек, которая чуть меньше, чем у варианта а.

Минимизация издержек. Современная стоимость издержек покупателя зависит от всех параметров операции, причем при q > i всегда наблюдается соотношение W6 < Wa. Иначе говоря, совокупные издержки покупателя меньше при начислении про­центов по варианту б. Причем, чем больше п и q , тем больше разность современных стоимостей потоков платежей, соответ­ствующих двум вариантам начисления процентов.

В табл. 14.3 иллюстрируется влияние роста учетной ставки на приведенные издержки покупателя (вариант 1). Влияние процентной ставки / на величину приведенных издержек неод­нозначно. В некоторых случаях ее рост приводит к увеличению W, в других — к уменьшению. Однако в любом случае это вли­яние мало ощутимо. Оно становится заметным лишь при боль­ших значениях п. В этой же таблице приводятся данные, хара­ктеризующие W6 для разных значений / (варианты 2 и 3). При расчете совокупных издержек приняты следующие параметры: Р = 1000, q = 0,1. В варианте 1 п = 10, / = 0,06; в варианте 2 п = 10, d = 0,07; в варианте 3 п = 8, d = 0,05.

Наиболее интересной и практически важной является зави­симость современной стоимости издержек от количества после­довательно погашенных векселей л. Нетрудно обнаружить, что при одних сочетаниях исходных параметров операции (/, d, q) значение Сможет расти, при других — падать. Более того, при некоторых сочетаниях параметров существует такое количест­во векселей, при котором совокупные издержки покупателя ста­новятся минимальными. Строгий аналитический подход для оп­ределения оптимального п приводит к громоздким математиче­ским выражениям. Проще рассчитать ряды показателей для за­данного набора параметров и выбрать оптимальное значение п.

314

Таблица 14.3 Суммарные приведенные издержки импортера

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
d	w,	/	wt	i	w,
0,04	775	0,04	1005	0,04	856
0,05	839	0,05	1006	0,05	855
0,06	916	0,06	1007	0,06	854
0,07	1007	0,07	1008	0,07	853
0,08	1118	0,08	1009	0,08	852
0,09	1258	0,09	1010	0,09	852
0,10	1436	0,10	1010	0,10	851
0,11	1675	0,11	1011	0,11	850
0,12	2008	0,12	1012	0,12	850

Таблица 14.4 Суммарные приведенные издержки покупателя