Финансовая математика (стр. 8 )

12.09.2000

Рис. 2.3

Иной подход предусматривается правилом торговца. Здесь возможны два варианта. Если срок ссуды не превышает год, то сумма долга с процентами остается неизменной до полного по­гашения. В свою очередь накапливаются частичные платежи с начисленными на них до конца срока процентами. Последний взнос должен быть равен разности этих сумм. В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты делаются для го-

28

дового периода задолженности. В конце года из суммы задол­женности вычитается наращенная сумма накопленных частич­ных платежей. Остаток погашается в следующем году. Алгоритм можно записать следующим образом:

0=5- К= Р(1 +ш)-2Л,(1 + /)/,),

(2.9)

где Q — остаток долга на конец срока или года, S — наращен­ная сумма долга, К— наращенная сумма платежей, Л — сумма частичного платежа, п — общий срок ссуды, t — интервал вре­мени от момента платежа до конца срока ссуды или года.

Графическое изображение такой операции при выплате двух промежуточных платежей охватывает два параллельных контура (см. рис. 2.4). Первый характеризует наращение задолженности, второй — наращение на суммы поступлений.

Заметим, что для одних и тех же данных актуарный метод и правило торговца в общем случае дают разные результаты. Ос­таток задолженности по первому методу немного выше, чем по второму.

Рис. 2.4

ПРИМЕР 2.7. Обязательство (1,5 млн руб.), датированное 10.08.1999 г., должно быть погашено 10.06.2000 г. Ссуда выдана под 20% годовых. В счет погашения долга 10.12.1999 г. поступило 800 тыс. руб. Остаток долга на конец срока согласно (2.9) составит

О = 1,5(1 + ^?-0,2) - 0,8(1 + Г^-0,2) = 0,87 млн руб.

В свою очередь, при применении актуарного метода получим

О = [(1,5 + -^-0,2) - 0,8](1 + -^-0,2) = 0,88 млн руб.

29

§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите

В потребительском кредите проценты, как правило, начис­ляются на всю сумму кредита и присоединяются к основ­ному долгу уже в момент открытия кредита (flat rate of interest, add-on interest). Условие, прямо скажем, весьма жесткое для должника.

Погашение долга с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Из сказанного следует, что наращенная сумма долга равна

5= Р(\ + ш), а величина разового погасительного платежа составит

/? = "£-, (2.10)

пт

где п — срок кредита в годах, т — число платежей в году.

В связи с тем что проценты здесь начисляются на первона­чальную сумму долга, а его фактическая величина систематиче­ски уменьшается во времени, действительная стоимость креди­та заметно превышает договорную процентную ставку. Подроб­нее об этом см. гл. 9, в которой, кроме того, обсуждается про­блема разбиения платежей на проценты и суммы погашения ос­новного долга. Необходимость в таком разбиении возникает при досрочном погашении задолженности.

ПРИМЕР 2.8. Кредит для покупки товара на сумму 1млн руб. от­крыт на три года, процентная ставка — 15% годовых, выплаты в конце каждого месяца. Сумма долга с процентами

S = 1(1 + 3 х 0,15) = 1,45 млн руб.

Ежемесячные платежи:

1450 Я = 3'^2 = 40,278 тыс. руб.

30

§2.4. Дисконтирование

по простым процентным ставкам.

Наращение по учетной ставке

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, об­ратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время п, необходимо опреде­лить сумму полученной ссуды Р. Такая ситуация может возник­нуть, например, при разработке условий контракта. Расчет Р по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т. е. непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные проценты — дисконтом (discount) или скидкой. Необходимость дисконтирования возникает, напри­мер, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.

Термин "дисконтирование" употребляется и в более широ­ком смысле — как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени. Такой прием часто называют приведением стоимостно­го показателя к некоторому, обычно начальному, моменту вре­мени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный, момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, назы­вают современной стоимостью, или современной величиной (pre­sent value), будущего платежа S, а иногда — текущей, или капи­тализированной, стоимостью. Современная величина суммы де­нег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения, удобно учиты­вать такой фактор, как время. Как будет показано далее, боль­шинство аналитических методов основывается на определении современной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования — математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором — учетная ставка.

Математическое дисконтирование. Математическое дискон­тирование представляет собой решение задачи, обратной нара­щению первоначальной суммы ссуды. Задача в этом случае

31

формулируется так: какую первоначальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в конце срока сумму S, при ус­ловии, что на долг начисляются проценты по ставке /? Решив (2.1) относительно Р, находим

'-ТТы- (2">

Напомним, что п = t/K — срок ссуды в годах.

Установленная таким путем величина Р является современ­ной величиной суммы S, которая будет выплачена спустя п лет. Дробь 1/(1 + ni) называют дисконтным, или дисконтирующим, множителем. Этот множитель показывает, какую долю состав­ляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме.

ПРИМЕР 2.9. Через 180 дней после подписания договора долж­ник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням? Согласно (2.11) находим

р =------ 310000----- = 287328,59 руб.

Разность S — Р можно рассматривать не только как процен­ты, начисленные на Р, но и как дисконт с суммы S.

Банковский учет (учет векселей). Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до на­ступления срока платежа (date of maturity) по векселю или ино­му платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т. е. поку­пает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его уче­та имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объ­еме, однако ранее указанного на нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммерче­ский, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уп­лате в конце срока (maturity value). При этом применяется учет­ная ставка d.

32

Размер дисконта, или суммы учета, очевидно равен Snd; ес­ли d — годовая учетная ставка, то п измеряется в годах. Таким образом,