Финансовая математика (стр. 51 )

ПРИМЕР 11.5. Вернемся к примеру 11.4 и рассчитаем ставку по­мещения при условии, что ставка налога на купонный доход со­ставляет 20%, а на прирост капитала — 28%. Искомую величину найдем, решив равенство

100 65 = 1- 0,28(1 +у)-*[0'72(1 + У)'Ъ + °'08 * °'8а^]

относительно у. Получим у = 15,53% (напомним, что без учета налога доходность — 19,62%).

241

Для иллюстрации влияния налогообложения найдем сумму дисконтированных по ставке 15,53% членов потока доходов (см. табл. 11.1).

Таблица 11.1 Дисконтированный поток платежей

Год	Доход	Налог	Чистый	Дисконтер.
		на доход	доход	чист, доход
1	8	1,6	6,4	5,54
2	8	1,6	6,4	4,79
3	8	1,6	6,4	4,15
4	8	1.6	6,4	3,59
5	108	11,4	96,6	46,93
Итого				65,00

Существует метод, который позволяет приближенно оценить полную доходность с учетом налоговых выплат, если известна ставка помещения без учета налогов:

У-*(!-/) +('-*)(!-«). (И.17)

ПРИМЕР 11.6. Для данных примера 11.5 получим

у- 8(1 - 0,2) + (19,62 - 8)(1 - 0,28) = 14,77%. Напомним, что точное значение равно 15,53%.

Все приведенные здесь расчеты предполагали, что уплата на­логов по времени совпадает с получением доходов по облига­ции. Отсрочка в выплате налогов, естественно, увеличивает ставку помещения.

§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска

Для обоснованного выбора облигации недостаточно распо­лагать данными об их доходности. Необходимо как-то оценить и риск. Последний, очевидно, связан со сроком облигации — чем больше срок, тем выше риск. Однако непосредственное сравнение сроков не приведет к правильным выводам, посколь-

242

ку при этом не учитываются особенности распределения дохо­дов во времени ("профиль" поступлений доходов). Ясно, что облигации с нулевым купоном более рискованны, чем облига­ции с периодическим выплатами процентов при одном и том же их сроке, так как все поступления происходят в конце сро­ка. Для характеристики облигаций под этим углом зрения при­меняют два вида средних сроков платежей. Обе средних явля­ются взвешенными арифметическими. Отличие — в методе взвешивания. Назовем первую среднюю средним арифметиче­ским сроком (average life), вторую, для того чтобы отличить от первой, назовем средним сроком дисконтированных платежей (duration). Рассмотрим обе средние.

Средний арифметический срок. Этот показатель обобщает сроки всех видов выплат по облигации в виде средней взвешен­ной арифметической величины. В качестве весов берутся раз­меры выплат. Иначе говоря, чем больше сумма выплаты, тем большее влияние на среднюю оказывает соответствующий срок. Для облигаций с ежегодной оплатой купонов и погашением но­минала в конце срока получим

1>ф. gNlttj+nN

Г'^Г° !*. + *• »-w....................... "■ <1U8)

j '

где Т — средний срок, t — сроки платежей по купонам в годах, Sj — сумма платежа, g — купонная норма процента, л — общий срок облигации.

Известно, что для t,= 1,2, ..., п

Г'~ 2 ' поэтому вместо (11.18) можно применить

*(* + О , j

Г= gll/ш ■ (П19)

Очевидно, что Т<п. У облигаций с нулевым купоном Т = п. Нетрудно понять, что чем больше купонный процент, тем меньше средний срок.

243

ПРИМЕР 11.7. Найдем средний арифметический срок для двух облигаций с выплатами по купонам 5 и 10% от номинала, срок об­лигаций 10 лет. По формуле (11.19) получим

0,05 х 11 t 1 0,1 х 11 t 1

г1=—5js—=8'5: т* =—м— = 7'75г°да-

Пусть теперь купоны оплачиваются р раз в году, например, по полугодиям или ежеквартально, тогда необходимая нам сум­ма сроков платежей находится как

у пр(п + 1 / р)

Теперь вместо (11.19) имеем

!<я+1//»+1

Т=--------- —----------- . (11.20)

g+ 1 / п

Очевидно, что переход от годовой выплаты процентов к вы­платам по полугодиям или по кварталам несколько снижает средний арифметический срок облигации. Чем меньше средний арифметический срок, тем скорее получает отдачу от облигации ее владелец и, следовательно, меньше риск.

Несколько слов о содержании полученной средней. Предва­рительно вспомним понятие "кредитная услуга", под которой обычно понимают произведение суммы кредита на срок ("руб-ле-годы"). В числителе формулы (11.18) показан полный размер кредитной услуги по облигации — все ожидаемые поступления умножены на соответствующие сроки. Средний арифметиче­ский срок указывает на момент в сроке облигации, который уравнивает размеры кредитных услуг в том смысле, что сумма кредитной услуги до среднего срока равна кредитной услуге по­сле этого момента:

ЯМ-*'**» <»-21>

где Ау, гк — временные интервалы от даты платежа до среднего срока (/ — платежи, производимые до среднего срока, к — по­сле этого срока).

244

Для иллюстрации обратимся к облигации из примера 11.4 со сроком 5 лет. Ее средний срок равен 4,43 года. Размер кре­дитной услуги на эту дату равен примерно 62. Кредитная ус­луга для оставшегося срока равна такой же величине. Механи­ческий аналог среднего срока — точка равновесия платежей во времени.

Средний срок дисконтированных платежей. Обсуждаемый по­казатель также представляет собой среднюю взвешенную вели­чину срока платежей, однако взвешивание здесь более "тон­кое", учитывающее временную ценность денег. В качестве та­кого показателя, который, кстати, вытесняет в современной практике средний арифметический срок, применяют так назы­ваемый средний срок дисконтированных платежей. Обозначим эту величину как D.

Пусть проценты выплачиваются ежегодно, тогда имеем

(11.22)

Знаменатель формулы по определению равен рыночной це­не облигации (см. (11.6)). После ряда преобразований получим

gyt, vJ +v"

D-Z^------------- ,/,= 1,2,...,/!. (11.23)

АГ/100 J v '

Дисконтирование здесь производится по ставке помещения.

ПРИМЕР 11.8. Для облигации примера 11.4 ставка помещения (полная доходность) равна 19,62%. Дисконтируем платежи по этой ставке.
'/	vh	S/	Sffb	W> I
I 1 2 3 4 5	0,8360 0,6989 0,5842 0,4884 0,4083	GO GO 00 00 00 о	6,6880 5,5912 4,6736 3,9072 44,0966 64,957	6,6880 11,1824 14,0208 15,6288 220,4828 268,0028

245

Находим

268 D = -£jj - = 4,12 года.

Напомним, что средний арифметический срок для этой обли­гации равен 4,43 года.

Очевидно, что для облигации с нулевым купоном D = Т = п. В остальных случаях D < Т < л. На рис. 11.2 ил­люстрируется зависимость среднего взвешенного срока плате­жей от общего ее срока (/ — облигации с нулевым купоном, 2 — купленные по номиналу, 3 — купленные с дисконтом, 4 — купленные с премией; по облигациям вида 2—4 предусма­тривается выплата купонного дохода). Рассматриваемый по­казатель увеличивается при сокращении купонного дохода, а также с падением средней ставки на рынке и ростом общего срока.

Из определения D и приведенных формул следует, что этот показатель учитывает особенности потока платежей — отдален­ные платежи имеют меньший вес, чем более близкие к момен­ту оценки. Заметим, что эту величину можно трактовать и как срок эквивалентной облигации с нулевым купоном.