Финансовая математика (стр. 33 )

152

§7.2. Нелинейные модели

Линейная модель во многих случаях дает практически прие­млемое описание ситуации. Однако могут иметь место ситуа­ции, когда процесс формирования затрат и/или стоимости про­дукции более адекватно описывается нелинейными функциями и имеются достаточно надежные данные для получения соот­ветствующих кривых. Вид и параметры таких кривых могут быть установлены, например, в ходе статистического анализа или их можно задать экспертно.

Барьерный выпуск продукции. Вернемся к задаче по опреде­лению критического объема продукции, но в условиях, когда одна или обе "конкурирующих" функции являются нелиней­ными. Ограничимся двумя из возможных постановок задачи. Пусть для начала стоимость продукции — линейная функция выпуска, а затраты на производство описываются нелинейной, монотонно растущей функцией. Иначе говоря, предполагает­ся, что удельные затраты сокращаются по мере роста масшта­бов производства, а цена единицы продукции не изменяется. Такое сочетание затрат и стоимости продукции представлено на рис. 7.3.

Рис, 7,3

Задача, как и выше, заключается в определении барьерного уровня выпуска продукции. Стоимость продукции находится по формуле (7.1), а сумма переменных затрат описывается, допус­тим, степенной функцией cQh, причем 0 < А < 1. В этом случае общая сумма затрат составит

153

5= F+ cQh

Разность "конкурирующих" функций в барьерной точке рав­на нулю:

pQk~cQ\- F=0.

Решение, как видим, сводится к нахождению корня этого уравнения.

ПРИМЕР 7.2. Исходные данные: F Соответственно имеем	= 100, p =	50, с = 40, h	= 0,5.
	50Qk - 40Q°'5 -	- 100	= 0.
Найдем корни этого уравнения. квадратное, положив О = z2. После	Для чего	этого преобразуем получим	его в
*«-■	50z2 - 40z -	100 =	= 0,
-(-40)±^40)2 27	-4х! 50	50 х(-	-юо)
Положительный = 1,862 = 3,46.	корень равен	1,86.	Таким образом,	°*=

Перейдем к сочетанию двух нелинейных зависимостей. На­пример, пусть обе функции являются параболами второй степе­ни (см. рис. 7.4). Тогда

V= aQ2 + bQ, S=cQ2 + dQ +F,

где a, b, c, d — параметры парабол.

Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит

Р = {а - c)Q2 + {b-d)Q - F (7.5)

Барьерный объем выпуска находится как корень квадратно­го уравнения

(a-c)Q2k + (b-d)Qk-F=0. 154

v, s

F

Ok 0

Рис. 7.4

Добавим, что при некоторых условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующего размер прибыли (обозначим его как Qm). Для этого, как известно, достаточно найти произ­водную функции прибыли и приравнять ее нулю. В случае, ко­гда прибыль описывается выражением (7.S), находим

g»-t^t- <7-6>

Как видим, положение точки максимума полностью опреде­ляется параметрами соответствующих парабол. Причем необхо­димым условием существования максимума являются следую­щие соотношения: d>b, a>c . Если же b>d и а>с, то прибыль монотонно растет вместе с увеличением выпуска.

Нелинейную модель можно представить и в неформализо­ванном виде — как таблицу данных, характеризующих затраты и стоимость продукции в зависимости от размера выпуска (см. пример 7.3).

ПРИМЕР 7.3. В приведенной ниже таблице и на диаграмме со­держатся данные о затратах, стоимости продукции и ожидаемой прибыли.

о	F	с	Р	S	V	Р
0	100	—	—	100	—	—
5	100	30	50	250	250	0
10	100	27	50	370	500	130
15	100	22	45	430	675	145
20	100	20	40	500	800	300
25	100	20	30	600	750	150

155

V, S, P

800

700-

600-

500-

400

300-

200

100-

0

Рис, 7,5

Наибольшая прибыль, как видим, приходится на выпуск, рав­ный 20.

§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе

Сравнение денежных сумм. Начнем с решения простой зада­чи, иллюстрирующей возможности метода при решении неко­торых проблем финансов и кредита. Допустим, необходимо вы­брать один из двух вариантов поступлений денежных средств, различающихся суммами и сроками: 5,, S2 со сроками л,, л2, причем S2 > 5,, п2 > пх (иначе задача не имеет экономического смысла). Логически оправданно выбор обосновать на сравне­нии современных стоимостей поступлений. Таким образом, ре­зультат выбора зависит от ожидаемого рыночного уровня про­центной ставки. Барьерной в рассматриваемой задачей являет­ся ставка, при которой оба варианта оказываются эквивалент­ными.

Рассмотрим метод решения для двух вариантов расчета сов­ременных стоимостей: по простой и сложной процентным став­кам. Для простой ставки имеем следующее равенство современ­ных стоимостей:

i + V*~ i + «A' (7'7)

а для сложной ставки:

*i(l + '*P - S2(l + '*P- (7.8)

156

В обоих равенствах ik означает величину барьерной ставки. Решив уравнение (7.7) относительно искомой ставки, получим

. s2-sx

к 5.л, - Д, я,

'1"2

J2"\

(7.9)

Из последнего выражения следует необходимое условие для существования барьерной ставки

S{n2 > S2nx или S{ > Sj—.

П2

Графическая иллюстрация решения представлена на рис. 7.6. р A p2t

Рис - 7,6

Как видно из рисунка, если ожидаемый уровень ставки меньше барьерного, то для получателя денег предпочтителен вариант S2, если же рыночная ставка больше барьерной, то сле­дует остановиться на альтернативном варианте.

ПРИМЕР 7.4. Сравним два варианта платежей с параметрами: S1 = 1; S2 = 1,15; nt = 7; п2 = 12 (сроки платежей указаны в ме­сяцах). Сначала проверим: если

St > 1,15 х —i следовательно, решение существует. Далее по­лучим

115-1
/; =--------- т£--------------- у- = 0,4557, или 45,6%.

1Х--1.15*-

Таким образом, при рыночной ставке, которая меньше чем 45,6%, для получателя денег предпочтительней более отдаленная выплата при всех прочих равных условиях.