Финансовая математика (стр. 45 )

Основное внимание в главе уделено проблеме оценки ПД для конкретных видов финансовых операций и анализу факто­ров, влияющих на этот показатель. Кроме того, здесь обсужда­ются методы сравнения контрактов, предусматривающих кре­дитование.

210

В западной финансовой литературе предполагается множе­ство формул для расчета показателей ПД, причем исходные посылки для их построения обычно даже не обсуждаются. Можно показать, что все подобного рода формулы базируют­ся на равенстве, которое назовем балансом финансовой опера­ции или уравнением эквивалентности. С уравнением эквива­лентности мы уже встречались в гл. 4 (см. § 4.3). Обсуждение методов оценки показателей доходности для разных видов ссудно-кредитных операций начнем с рассмотрения этого уравнения.

§10.2. Уравнение эквивалентности

Необходимым условием финансовой или кредитной опера­ции в любом ее виде (ссуда, депозит, заем, инвестиции в про­изводственный проект и т. д.) является сбалансированность вло­жений и отдачи. На этом требовании базируются все рассмот­ренные выше методы планирования погашения задолженности. Посмотрим теперь на проблему сбалансированности с более об­щей, теоретической точки зрения, не отвлекаясь на техниче­ские детали расчета сумм обслуживания долга и ее компонент.

Для этого вернемся к графику, который был назван в гл. 2 контуром операции. Напомним, что контур позволяет составить уравнение, эквивалентности, балансирующее вложение средств и отдачу от них. Для случая, показанного на рис. 10.1, получим следующие размеры задолженности после уплаты Л, и Л2:

где D0 — размер кредита, (f = (1 + /)' — множитель наращения, / — ставка процентов по кредиту.

	я,		я2
I >	г__	>	г__ У	«3
*1		_!l	'э >	Г______

Рис. 10.1

211

Очевидно, что баланс кредита и погасительных платежей имеет место в том случае, когда последний платеж замыкает контур. В нашем примере полная сбалансированность означает

D2qh - /?3 - 0.

Определим D2 через D0 и подставим полученный результат в уравнение эквивалентности:

f(A></' -Д^-лЛ^-Яз-О

Уравнение становится весьма громоздким, если число вре­менных интервалов больше трех. Поэтому преобразуем найден­ное выражение, после чего

^о/-(Л1?/2+/з + Л2^3+Лз)-0, (10.1)

где Г=2/у.

Найденное уравнение для нас ценно прежде всего в методо­логическом плане. Здесь ясно показано, что кредитная опера­ция при применении сложных процентов может быть расчлене­на без какой-либо потери точности на два как бы встречных процесса: наращение первоначальной задолженности за весь период и наращение погасительных платежей за срок от момен­та платежа и до конца срока операции. Назовем такой подход методом "встречных операций". В ряде случаев он существен­но упрощает доказательства, ив дальнейшем мы неоднократно будем его применять.

Умножим (10.1) на дисконтный множитель vr, получим

A)-(*,v" + *2v',+'2 + *3vr) -0.

Иначе говоря, сумма современных величин погасительных платежей на момент выдачи кредита равна при полной сбалан­сированности платежей сумме этого кредита. Это положение уже применялось нами, правда, на интуитивном уровне, при планировании погашения задолженности.

Обобщим (ЮЛ) для случая с п погасительными платежами

A)/-2*y/;-0,y=l,2, ...,ai,

212

где Tj — время от момента платежа Rj до конца срока.

При написании уравнения эквивалентности предполагалось, что процентная ставка постоянна на всем протяжении опера­ции. Принципиально ничего не меняется, если значение став­ки изменяется во времени. Допустим, что изменение происхо­дит на каждом шаге. Тогда можно записать

где Г,- J/ft, Г2- £/*....

к-2 *-3

Уравнения эквивалентности, о которых только что шла речь, позволяют решить несколько важных в практическом отноше­нии задач, а именно: измерить доходность от операции и рас­пределить получаемый доход по их источникам и периодам, предусматриваемым условиями контракта, или по календарным отрезкам времени. Для этого, однако, надо разработать уравне­ния, в которых наращение (или дисконтирование) производит­ся по неизвестной ставке, характеризующей полную доход­ность. Именно таким путем определяются эти величины в сле­дующих параграфах.

§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных

Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. § 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комис­сионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере D выдана на срок л. При ее выдаче удерживаются комиссионные за операцию (G). Фактически вы­данная ссуда равна D — G Пусть для начала сделка предусмат­ривает начисление простых процентов по ставке /. При опреде­лении доходности этой операции в виде годовой ставки слож­ных процентов /э исходя из того, что наращение величины D — — G по этой ставке должно дать тот же результат, что и нара­щение D по ставке /. Разумеется, уменьшение фактической сум­мы кредита связано не только с удержанием комиссионных.

213

Однако для краткости любое удержание денег, сделанное в пользу кредитора, будем в этой главе называть комиссионными. По определению уравнение эквивалентности запишем в виде

(/)- С)(1 + /э)"=/)(1 + ш).

Графическое изображение данной сделки (контур) показано на рис. 10.2.

Пусть D — G = D{\ — g), где g — относительная величина ко­миссионных в сумме кредита, тогда

\ 1 + nl

/, - 1\

-1.

(Ю.2)

При определении степени корня будем полагать, что времен­ная база всегда равна 365 дням. Полученный показатель доход­ности можно интерпретировать как скорректированную цену кредита.

Ставка /э не фигурирует в условиях операции, она полностью определяется ставкой процента и относительной величиной ко­миссионных при заданном сроке сделки. Предположим, что не­обходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов /эп. В этом случае на основе соответствующего урав­нения эквивалентности находим

1 + ni
С = —------ :----- 1.

(1-*)"

(Ю. З)

о,

0(1 +w)

D-G

Рис. 10.2

ПРИМЕР 10.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кре­дита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? По формуле (10.2) находим

214

		-1-0,0927, или 9,27%.
/' * 180/365 1	L±llx0.08 365
1-М 100

Если ссуда выдается под сложные проценты, то исходное уравнение для определения /э имеет вид

(D- G)(l + /э)" = D{\ + /)".

Следовательно,

, + / -1. (10.4)

"ч/Ы

ПРИМЕР 10.2. В какой мере удержание комиссионных из расче­та 1% суммы кредита увеличивает эффективность ссуды для кре­дитора при пяти - и десятилетнем сроке? Находим

-7-J--------- 1 - 0,002, или 0,2%; --7=!------ -1 - 0,001, или 0,1%.

Vl-0,01 4/1-0,01

Учетные операции. Если доход извлекается из операции уче­та по простой учетной ставке, то эффективность сделки без удержания комиссионных определяется по формуле эквива­лентной ставки (4.22). При удержании комиссионных и дис­конта заемщик получает сумму D - Dd - G или Д1 - nd - g). Напомним, что (/означает простую учетную ставку, a g — отно­сительную величину комиссионных в сумме кредита. Уравне­ние эквивалентности в данном случае имеет вид

D(\ - nd-g)(\ + /э)" = D. Отсюда

Ит^Ьт-1, <10-5)

где п — срок, определяемый при учете долгового обязательства.

215

Для полного показателя доходности в виде простой ставки

/эп находим

i-d-j,-»-'- <'°-б>

ПРИМЕР 10.3. Вексель учтен по ставке d = 10% за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Доходность операции согласно (10.5) при условии, что временная база учета 360 дней, составит