Финансовая математика (стр. 72 )

л—"S^ <1619>

(16 • (

^с+1 ^c+f+1

а*-<\ л

"х+п+1 -"х+и+М

tfx-A

Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем следую­щие выражения.

Немедленный пожизненный аннуитет:

(16.25)

N™ Nx 11

Dx Dx 24

Немедленный ограниченный аннуитет:

(16.26)

,m JV<'2>- tf<12> ^ - *,♦, - ^(Dx - DXH)
Dx Dx

Отложенный пожизненный аннуитет:

й(12>---------- х±»----------------- 24-------- (16 27)

я|* Dx Dx

Отложенный ограниченный аннуитет:

уу(12) _ дг(12)

д'12' ш х + п X + W+/ ш

п\ х:<] л

"х

™х+п ~ ™х+я+/ "~ ^Т ["х+п ~ Vx+n+t)

(16.28)

ПРИМЕР 16.7. Для условий примера 16.6, но с ежемесячными выплатами, получим:

Ш* 30:51" П

10465,3 - 5826,7 - ;$j(l 124,8 - 673'1)

------------------------ —24^--------------------- L . 0,60484.

731Q3

Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следую­щие соотношения.

Немедленный пожизненный аннуитет:

345

д(.2> *С **+, , И

Dx Dx 24

Немедленный ограниченный аннуитет:

в(12) ш jc-»I____ Х+/+1 ш

х-А D

(16.29)

(16.30)

24_

^х+1 - ^x*t*\ + ^т(^*+1 - At+/+l)

Отложенный на п лет пожизненный аннуитет:

,т лг<12>, лгх+#+|+-1дг+.+1

-(12) ш «♦,♦!---------------- 24-------- . (16.31)

Отложенный ограниченный (выплаты в течение t лет) аннуи­тет:

„и» „и»

п\ х:(] п

°* (16.32)

^х+л+1 " Nx+n+t+\ + Тт(Ас+/ц.1 " Ar+fl+/ + l)

Современные стоимости регулярных потоков платежей (обо­значим их, как это принято в финансовой математике, через Ах) определяются элементарно. Если размер годового платежа ра­вен Л, то для немедленного пожизненного потока годовых пла­тежей пренумерандо имеем Ах = R х ах> а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, Лх = Rx Jlxvl т. д.

ПРИМЕР 16.8. Рассчитаем актуарные стоимости нескольких ва­риантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегод­ные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма го­дового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4.

346

Таблица 16.4

Вид	Постнумерандо	Пренумерандо
потока	годовые	ежемесячн.	годовые	ежемесячн.
Немедл. Отложен.	Пожизнен. Огранич. Пожизнен. Огранич.	9334 6156 5529 3776	9792 6415 5788 3941	10 334 6773 6153 4171	9875 6490 5867 3990

Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхо­вого аннуитета:

— демографический фактор, отражаемый таблицей смертно­сти,

— процентная ставка (установленная норма доходности),

— длительность отсрочки выплат,

— срок аннуитета.

Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России де­мографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.5 приведены стоимости годовых немедлен­ных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух ва­риантов процентной ставки — 9 и 5 % .

Таблица 16.5 Стоимости немедленных аннуитетов

	1 =	9%	i =	5%
Возраст	Мужчины	Женщины	Мужчины	Женшивы
18	11,54	11,87	18,20	19,33
30	11,04	11,61	16,65	18,22
40	10,33	11,17	14,86	16,80
50	9,30	10,41	12,65	14,50
60	7,92	9,17	10,11	12,16
70	6,25	7,22	7,44	8,16

Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость анну­итета для женщин выше, чем для мужчин.

Влияние процентной ставки очевидно — повышение про­центной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и

347

табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих рав­ных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, ес­тественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2).

л|»х

О) - П

Рис 16.1

Рис 16.2

В следующей главе показано, как стоимости страховых анну­итетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах лич­ного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.  Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АН К ИЛ, 1995.

2.  Начала актуарной математики (для страхования жизни и пен­сионных схем). Зеленоград, 1995.

3.  Актуарные методы в негосударственном медицинском стра­ховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.

Глава 17 ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ

§17.1. Нетто-премии в личном страховании

Страхование на дожитие. Для начала рассмотрим самый про­стой, но очень важный в методическом плане случай личного страхования — страхование на дожитие (pure endowment). Итак, человек в возрасте х лет договаривается со страховой организа­цией о том, что при достижении им, допустим, 60 лет он полу­чит S рублей. Для определения размера премии найдем матема­тическое ожидание суммы страховой выплаты, дисконтирован­ной на срок страхования, т. е. на 60 — х лет. Размер нетто-пре­мии данного вида страхования обозначим как пЕх. Для рассма­триваемого примера:

60-А = во-хРх * v6°~* * £

где м-хРх — вероятность лицу в возрасте х лет дожить до 60 лет, v60"* — дисконтный множитель по принятой ставке сложных процентов.

В общем виде с использованием коммутационной функции Dx получим

A-A*»-*$-^'«S--^^-xJ-^S<17.1)

Влияние принятой процентной ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше страховая премия.

ПРИМЕР 17.1. Необходимо найти стоимость страхования на до­житие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основы­вать на процентной ставке, равной 9%, то согласно (17.1) полу­чим1

1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.

349

Deo 389,17

20е* = IT'S = ' c S = 0,13239 S. 20 x Одо 2939,5

Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхова­ния на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалент­ности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.