Финансовая математика (стр. 73 )

Для того чтобы лучше понять смысл полученных результа­тов, предположим, что число застрахованных на дожитие в при­мере 17.1 равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 тыс. руб. Таким образом:

число застрахованных 1000

премия от одного застрахованного 132,39 руб.

общая сумма премии 132 390 руб.

сумма с процентами за 20 лет 741 968 руб.______

количество лиц, доживших до 60 лет 742 (точно 741,968)

общая сумма выплат 742 000 тыс. руб.

Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принци­па эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).

Приведенный пример иллюстрирует действие принципа со-лидарной ответственности страхователей — важнейшего стра­хового принципа. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех лиц, которые не дожили до обусловленного возраста (согласно таблице смертности та­ких окажется в среднем 258 человек из тысячи застрахованных). Если оговоренную сумму он обеспечивает самостоятельно, без солидарной ответственности всех участников, то ему необходи­мо было бы внести на сберегательный счет 178,43 руб., а не 132,39 руб.

Страхование супружеской пары. Выше постановка задачи лич­ного страхования обсуждалась применительно к отдельному че­ловеку. Распространим теперь методику страхования на супру­жескую пару, при этом ограничимся страхованием на дожитие.

Пусть речь идет о супружеской паре, имеющей возраст х и у лет. Страховым событием здесь является дожитие до возрастов х+яиу+й или дожитие одного из супругов до оговоренного

350

возраста. В первом варианте нетто-премия в расчете на один рубль страховой суммы определяется как

Лу = пРх * пРу * Vя = -ТрЧ (17.2)

иху

где прх и пру — вероятности прожить еще п лет для каждого из супругов, DYV — коммутационная функция (см.(16.14) и (16.15)).

Во втором варианте страховая сумма выплачивается одному из супругов, например вдове, при условии, что она проживет до у + п лет. Получим следующую величину нетто-премии:

Л\у - пРХ\у * V" = ^" ~ "^f4"' (,7-3)

У ХУ

где прх^ — вероятность того, что супруг (заключивший договор в х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до возраста х + п, а супруга, напротив, доживет до у + п лет (см. (16.7)).

Величину яЯф можно рассчитать с помощью коммутацион­ных чисел. Обратимся к первой дроби в правой части равенст­ва (17.3). Умножим и разделим ее на v>\ Получим знакомое вы­ражение для нетто-премии на дожитие (17.1). Что касается вто­рой дроби, то для ее определения необходимы другие коммута­ционные числа (см. (16.14) и (16.15)).

Вернемся к формуле (17.3). Умножим и разделим вторую дробь на v^yV1. После чего получим

»Е4у~ D D ' ( '

У ху

Искомая величина равна разности нетто-премий страхова­ния на дожитие супруги и страхования на дожитие супружеской пары.

ПРИМЕР 17.2. Определим размер нетто-премии страхования на 5 лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х = 50, у = = 45 лет) находим следующие коммутационные числа при усло­вии, что процентная ставка равна 9% (первая строка — для муж­чин, вторая — для женщин):

D* = 050 = 1124'8; Dx+n = 055 = 673,1;

351

Dy = 045=1991,9; Dy+n = D	so = 1268,8;
(x + y)/2 = (50 + 45) / 2	= 47,5.
Отсюда
°xy = D50; 45 = 10"3 * 1124>8 * 1991 -9 :	к 1,09475 = 134 799;
*V„ = 055; я, = Ю-3 ж 673,1 ж 1268,8 ,	< 1,095+475 = 78 770.
При страховании на дожитие супружеской пары получим
Е т Е . 78770 ш rFxy 5С50;45 134 799	0,58435.
При страховании на дожитие вдовы:
1268,8 78 770 \ Е , = *£=„,« =----------- !------------------- = 0,63698 - 0,58435 - 0,05263. лсх|у 5С50|45 1991,9 134 799 ",wus,° u, JOW '

§17.2. Страхование жизни

Этот вид страхования (life insurance), называемый также стра­хованием на случай смерти, является наиболее распространен­ным. Страховая сумма, равная 5, выплачивается в случае смер­ти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х лет. Если смерть наступит на первом году страхо­вания, а выплата страховых сумм наследникам производится в конце года наступления страхового события, то с учетом веро­ятности этого события современная величина выплаты (на мо­мент заключения контракта) составит qx(Sv); если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная по содержанию величина равна 2ЯХ(^) и Т-Д-

Единовременную нетто-премию определим исходя из прин­ципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математиче­скому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Поскольку необходимые значения вероятностей находятся на основе таб­лицы смертности как dx/lx (см. § 16.2), то искомая величина премии при условии, что страхование пожизненное, определя­ется как

352

A=-rvS+ -^-v2^ + ... + -7- v«-xS.

Умножим и разделим каждое слагаемое на Vх и используем коммутационную функцию Dx. После чего получим

 

A=S

*x+\ + —^±i-vx+2 + + _% o>

D„ D„ D

X

\ ~x **x **x

Применив коммутационную функцию Мх (см. (16.13)), окон­чательно имеем

Л/ Ax--f& 07.5)

X

Пожизненное страхование жизни встречается не так уж час­то. Обычно практикуют страхование на срок. Пусть этот срок равен п годам. Нетто-премия в этом случае составит

Л/. ~~ А/„._

л ——r^s- <l7-6>

ПРИМЕР 17.3. Найдем величину премии в виде доли от страхо­вой суммы для сорокалетнего мужчины при пожизненном страхо­вании жизни:

Мдо 431,4

A^^ = ^s=-i^iJs=0-14678S-

Для варианта с ограничением срока страхования двадцатью годами получим:

М40~М60 431,4-134,7 Их - «Л* - ~%^S------------ iiiiJ-S = 0.10094S.

Как видим, ограничение срока заметно снизило стоимость страхования.

На практике часто премии выплачиваются в рассрочку. Пос­леднее равносильно замене разовой выплаты премии постоян­ной рентой. Пусть рассрочка осуществляется посредством пла­тежей пренумерандо в течение / лет. Условие равенства обяза­тельств сторон в страховании запишем следующим образом:

353

Мх — Мх+п

где R — член страхового аннуитета (размер ежегодной премии), а^л — стоимость немедленного ограниченного страхового анну­итета (см. (16.22)).

После несложных преобразований имеем

A/v ~~ Л/. * = s-N & (17J)

ПРИМЕР 17.4. Допустим, единовременный взнос в примере 17.3 (пожизненное страхование) заменяется на выплаты в рассрочку в течение 20 лет. В этом случае

Чю 431,4
R =-------- ——S =-------------- ■------ S = 0,01581 S.

NA0'N60 30376 " 3082

Смешанное страхование. Нетрудно объединить страхование на дожитие и на случай смерти. Если страховое возмещение обоих рисков одинаково, то в расчете на один рубль страховой суммы получим следующую сумму единовременной нетто-пре-мии: